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Calcule.

∫ 2 x 3 x + 2 d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, e alguns dos fatores são repetidos, vamos então usar a seguinte fórmula:

2 x 3 x + 2 = A x + B x 2 + C x 3 + D x + 2

Vamos achar os valores de A , B , C e D , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x 3 x + 2 :

2 x 3 x + 2 x 3 x + 2 = A x 3 x + 2 x + B x 3 x + 2 x 2 + C x 3 x + 2 x 3 + D x 3 x + 2 x + 2 →

→ 2 = A x 2 x + 2 + B x x + 2 + C x + 2 + D x 3

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

2 = A x 2 x + 2 + B x x + 2 + C x + 2 + D x 3

2 = A x 3 + 2 A x 2 + B x 2 + 2 B x + C x + 2 C + D x 3

2 = x 3 A + D + x 2 2 A + B + x 2 B + C + 2 C

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x 3 , x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + D = 0 2 A + B = 0 2 B + C = 0 2 C = 2 → C = 1 → A + D = 0 2 A + B = 0 2 B + 1 = 0 → B = - 1 2 C = 1 → D = - A 2 A - 1 2 = 0 → A = 1 4 B = - 1 2 C = 1 → D = - 1 4 A = 1 4 B = - 1 2 C = 1

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 2 x 3 x + 2 d x = ∫ 1 4 x + - 1 2 x 2 + 1 x 3 + - 1 4 x + 2 d x =

= ∫ 1 4 x - 1 2 x 2 + 1 x 3 - 1 4 x + 2 d x = ∫ 1 4 x d x + ∫ - 1 2 x 2 d x + ∫ 1 x 3 d x + ∫ - 1 4 x + 2 d x

Pronto, agora vamos resolver as quatros integrais separadamente.

Passo 3

Na primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 4 x d x = 1 4 ∫ 1 x d x = 1 4 ln ⁡ x + C

Passo 4

Com a segunda para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

∫ - 1 2 x 2 d x = - 1 2 ∫ 1 x 2 d x = - 1 2 ∫ x - 2 d x = - 1 2 ⋅ x - 2 + 1 - 2 + 1 + C = - 1 2 ⋅ x - 1 - 1 + C = 1 2 x + C

Passo 5

E com a terceira, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 3 + 1 - 3 + 1 + C = x - 2 - 2 + C = - 1 2 x 2 + C

Passo 6

Com a última vamos usar a Regra da Substituição:

t = x + 2

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 1 4 x + 2 d x = - 1 4 ∫ 1 x + 2 d x = - 1 4 ∫ 1 t d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 1 4 ∫ 1 t d t = - 1 4 ln ⁡ t + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

∫ 2 x 3 x + 2 d x = ∫ 1 4 x d x + ∫ - 1 2 x 2 d x + ∫ 1 x 3 d x + ∫ - 1 4 x + 2 d x = 1 4 ln ⁡ x + 1 2 x - 1 2 x 2 - 1 4 ln ⁡ t + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 2 x 3 x + 2 d x = 1 4 ln ⁡ x + 1 2 x - 1 2 x 2 - 1 4 ln ⁡ t + C = 1 4 ln ⁡ x + 1 2 x - 1 2 x 2 - 1 4 ln ⁡ x + 2 + C

Resposta

∫ 2 x 3 x + 2 d x = 1 4 ln ⁡ x + 1 2 x - 1 2 x 2 - 1 4 ln ⁡ x + 2 + C

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