Enunciado

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Calcule.

∫ 3 x 2 - 1 x 2 - 4 d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Mas antes vamos manipular um pouco a integral:

∫ 3 x 2 - 1 x 2 - 4 d x = ∫ 3 x + 1 x - 1 x + 2 x - 2 d x

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

3 x + 1 x - 1 x + 2 x - 2 = A x + 1 + B x - 1 + C x + 2 + D x - 2

Vamos achar os valores de A , B , C e D , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x 2 x + 1 2 :

3 = A x - 1 x + 2 x - 2 + B x + 1 x + 2 x - 2 + C x + 1 x - 1 x - 2 + D x + 1 x - 1 x + 2

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

3 = A x - 1 x + 2 x - 2 + B x + 1 x + 2 x - 2 + C x + 1 x - 1 x - 2 + D x + 1 x - 1 x + 2

3 = A x - 1 x 2 - 4 + B x + 1 x 2 - 4 + C x 2 - 1 x - 2 + D x 2 - 1 x + 2

3 = A x 3 - 4 x - x 2 + 4 + B x 3 - 4 x + x 2 - 4 + C x 3 - 2 x 2 - x + 2 + D x 3 + 2 x 2 - x - 2

3 = A x 3 - 4 A x - A x 2 + 4 A + B x 3 - 4 B x + B x 2 - 4 B + C x 3 - 2 C x 2 - C x + 2 C + D x 3 + 2 D x 2 - D x - 2 D

3 = x 3 A + B + C + D + x 2 - A + B - 2 C + 2 D + x - 4 A - 4 B - C - D + 4 A - 4 B + 2 C - 2 D

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x 3 , x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B + C + D = 0 - A + B - 2 C + 2 D = 0 - 4 A - 4 B - C - D = 0 4 A - 4 B + 2 C - 2 D = 3

Vamos somar a primeira com a segunda:

2 B - C + 3 D = 0

Agora somando a terceira com a última temos:

- 8 B + C - 3 D = 3

Vamos agora somar essas duas para achar o valor de B :

- 6 B = 3 → B = - 1 2

Somando a segunda com a última achamos A :

3 A - 3 B = 3 → 3 A = 3 + 3 B → 3 A = 3 + 3 - 1 2 → 3 A = 3 2 → A = 1 2

Multiplicando a primeira por 2 e somando com a última encontramos C :

6 A - 2 B + 4 C = 3 → 4 C = 3 - 6 ⋅ 1 2 + 2 - 1 2 → 4 C = - 1 → C = - 1 4

Por último, substituindo os valores na primeira para achar D :

D = - A - B - C = - 1 2 - - 1 2 - - 1 4 → D = 1 4

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 3 x 2 - 1 x 2 - 4 d x = ∫ 1 2 x + 1 + - 1 2 x - 1 + - 1 4 x + 2 + 1 4 x - 2 d x = ∫ 1 2 x + 1 - 1 2 x - 1 - 1 4 x + 2 + 1 4 x - 2 d x

= ∫ 1 2 x + 1 d x + ∫ - 1 2 x - 1 d x + ∫ - 1 4 x + 2 d x + ∫ 1 4 x - 2 d x

Agora vamos resolver as quatros integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 2 x + 1 d x = 1 2 ∫ 1 x + 1 d x = 1 2 ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x + 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 1 2 x - 1 d x = - 1 2 ∫ 1 x - 1 d x = - 1 2 ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 1 2 ∫ 1 v d v = - 1 2 ln ⁡ v + C

Passo 5

Com a terceira, vamos usar a Regra da Substituição também:

t = x + 2

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 1 4 x + 2 d x = - 1 4 ∫ 1 x + 2 d x = - 1 4 ∫ 1 t d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 1 4 ∫ 1 t d t = - 1 4 ln ⁡ t + C

Passo 6

E novamente com a última vamos usar a Regra da Substituição:

r = x - 2

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 4 x - 2 d x = 1 4 ∫ 1 x - 2 d x = 1 4 ∫ 1 r d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 4 ∫ 1 r d r = 1 4 ln ⁡ r + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

∫ 3 x 2 - 1 x 2 - 4 d x = ∫ 1 2 x + 1 d x + ∫ - 1 2 x - 1 d x + ∫ - 1 4 x + 2 d x + ∫ 1 4 x - 2 d x = 1 2 ln ⁡ u - 1 2 ln ⁡ v - 1 4 ln ⁡ t + 1 4 ln ⁡ r + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 3 x 2 - 1 x 2 - 4 d x = 1 2 ln ⁡ u - 1 2 ln ⁡ v - 1 4 ln ⁡ t + 1 4 ln ⁡ r + C = 1 2 ln ⁡ x + 1 - 1 2 ln ⁡ x - 1 - 1 4 ln ⁡ x + 2 + 1 4 ln ⁡ x - 2 + C

Resposta

∫ 3 x 2 - 1 x 2 - 4 d x = 1 2 ln ⁡ x + 1 - 1 2 ln ⁡ x - 1 - 1 4 ln ⁡ x + 2 + 1 4 ln ⁡ x - 2 + C

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