Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 12.3 - Ex. 1a

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1. Calcule

a ) ∫ x e x d x

Passo 1

Vamos fazer uso da integração por partes, a qual é dada por ∫ u   d v = u v -   ∫ v d u . Para escolher quem será o u , podemos fazer uso de uma regrinha que pode ajudar; o LIATE (Logarítmicas, Inversas de Trigonométricas, Algébrica, Trigonométrica e Exponencial), ou seja, o u será escolhido de acordo com essa ordem. Portanto, como temos uma função algébrica e outra exponencial, pela ordem o u deverá ser a algébrica e a exponencial será o d v . Logo,

u = x   ⟹ d u = d x

d v = e x   d x   ⟹ v = e x

Passo 2

Aplicando os valores na regra de integração por partes

∫ u   d v = u v -   ∫ v d u  

∫ x e x d x = x e x - ∫ e x d x = x e x - e x + k = e x x - 1 + k

Resposta

Portanto,

∫ x e x d x =   e x x - 1 + k

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