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  1. Calcule
    1. ∫ 0 2 f x d x onde     f x = 2           s e     0 ≤ x < 1 1 x     s e             1 ≤ x ≤ 2  

Passo 1

Como f ( x ) é limita no intervalo [ 0,2 ] e descontínua apenas no ponto x = 1 , f ( x ) é integrável nesse intervalo. Agora vamos integrar nos intervalos contínuos e juntar isso. Olha só:

∫ 0 2 f x d x = ∫ 0 1 f x d x + ∫ 1 2 f x d x

Sacou?!

Passo 2

No intervalo [ 0,1 [ :

f x = 2

Logo,

I 1 = ∫ 0 1 2 d x

Tirando o 2 da integral e resolvendo:

I 1 = 2 ∫ 0 1 d x → I 1 = 2 x   | 0 1

Portanto,

I 1 = 2 × 1 - 0 → I 1 = 2

Passo 3

No intervalo [ 1,2 [ :

f x = 1 x

Assim,

I 2 = ∫ 1 2 1 x d x

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + c

I 2 = ln ⁡ x ​ 1 2

Aplicando entre os pontos 1 e 2 :

I 2 = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ 2

Passo 4

Juntando tudo, temos:

∫ 0 2 f x d x = I 1 + I 2

Substituindo os valores:

∫ 0 2 f x d x = 2 + ln ⁡ 2

Resposta

∫ 0 2 f x d x = 2 + ln ⁡ 2

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Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria. ∫ 1 ∞ x 4 e - x 4 d x ∫ 1 π 2 sec ⁡ x d x ∫ 0 2 x x 2 - 5 x + 6 d x ∫ - ∞ 0 1 x 2 + 5 d x
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Calculed) ∫ - 2 2 g u d u     onde     g u = 1 u 2           s e     u ≥ 1 u                       s e   u < 1  
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Esboce o gráfico da função F dada pora) F x = ∫ 0 x f t d t     onde     f t = 2           s e     0 ≤ t < 1 1 t                             s e   t ≥ 1  
Calculed)   ∫ 0 x f t d t     onde     f t = 1       s e           0 ≤ t < 1 2       s e           1 ≤ t < 2 3       s e           t ≥ 2