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Calcule as aproximações L n , R n , T n e M n para n = 5 , 10 e 20 . Então calcule os erros correspondentes E L , E R , E T e E M . (Arredonde seus resultados para seis casas decimais. Você pode usar o comando soma em um sistema de computação algébrica.) Quais observações você pode fazer? Em particular, o que acontece aos erros quando n é dobrado?

∫ 1 2 1 x 2 d x

Passo 1

Temos o intervalo 1 ≤ x ≤ 2 , e vamos usar n = 5 , e com f x = 1 x 2 temos que ∆ x :

∆ x = 2 - 1 5 = 1 5

Primeiro vamos achar a aproximação a esquerda L 5 , onde os x dos pontos são o ponto a esquerda em cada intervalo:

L 5 = ∑ i = 1 n f x i - 1 ∆ x = f x 0 + f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4 1 5 = f 1 + f 1,2 + f 1,4 + f 1,6 + f 1,8 1 5 ≈ 0,580783

Agora vamos achar a aproximação a direita R 5 , onde os x dos pontos são o ponto a direita em cada intervalo:

R 5 = ∑ i = 1 n f x i ∆ x = f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4 + f x 5 1 5   = f 1,2 + f 1,4 + f 1,6 + f 1,8 + f 2 1 5 ≈ 0,430783

Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

T 5 = 1 2 ∙ 1 5 f 1 + 2 f 1,2 + 2 f 1,4 + 2 f 1,6 + 2 f 1,8 + f 2 ≈ 0,505783

Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 5 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

M 5 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 1,1 + f 1,3 + f 1,5 + f 1,7 + f 1,9 1 5 ≈ 0,497127

Passo 2

Para achar os erros precisamos do valor real da integral:

∫ 1 2 1 x 2 d x = - 1 x 1 2 = - 1 2 - - 1 = 1 2

Vamos agora achar os erros de E L , E R , E T e E M :

E L = r e a l - L 5 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - L 5 ≈ 1 2 - 0,580783 ≈ - 0,020783

E R = r e a l - R 5 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - R 5 ≈ 1 2 - 0,069217 ≈ 0,069217

E T = r e a l - T 5 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - T 5 ≈ 1 2 - 0,505783 ≈ - 0,005783

E M = r e a l - M 5 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - M 5 ≈ 1 2 - 0,497127 ≈ 0,002873

Passo 3

Agora com n = 10 , e com o intervalo 1 ≤ x ≤ 2 , com f x = 1 x 2 temos que ∆ x :

∆ x = 2 - 1 10 = 1 10

Primeiro vamos achar a aproximação a esquerda L 10 , onde os x dos pontos são o ponto a esquerda em cada intervalo:

L 10 = ∑ i = 1 n f x i - 1 ∆ x = f 1 + f 1,1 + f 1,2 + ∙ ∙ ∙ + f 1,8 + f 1,9 1 10 ≈ 0,538955

Agora vamos achar a aproximação a direita R 10 , onde os x dos pontos são o ponto a direita em cada intervalo:

R 10 = ∑ i = 1 n f x i ∆ x =   f 1,1 + f 1,2 + ∙ ∙ ∙ + f 1,9 + f 2 1 10 ≈ 0,463955

Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

T 10 = 1 2 ∙ 1 10 f 1 + 2 f 1,1 + 2 f 1,2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 1,9 + f 2 ≈ 0,501455

Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 10 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

M 10 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 1,05 + f 1,15 + ∙ ∙ ∙ + f 1,85 + f 1,95 1 10 ≈ 0,499274

Passo 4

Vamos agora achar os erros de E L , E R , E T e E M :

E L = r e a l - L 10 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - L 10 ≈ 1 2 - 0,538955 ≈ - 0,038955

E R = r e a l - R 10 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - R 10 ≈ 1 2 - 0,463955 ≈ 0,036049

E T = r e a l - T 10 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - T 10 ≈ 1 2 - 0,501455 ≈ - 0,001455

E M = r e a l - M 10 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - M 10 ≈ 1 2 - 0,499274 ≈ 0,000726

Passo 5

Agora com n = 20 , e com o intervalo 1 ≤ x ≤ 2 , com f x = 1 x 2 temos que ∆ x :

∆ x = 2 - 1 20 = 1 20

Primeiro vamos achar a aproximação a esquerda L 20 , onde os x dos pontos são o ponto a esquerda em cada intervalo:

L 20 = ∑ i = 1 n f x i - 1 ∆ x = f 1 + f 1,05 + f 1,10 + ∙ ∙ ∙ + f 1,95 1 20 ≈ 0,519114

Agora vamos achar a aproximação a direita R 20 , onde os x dos pontos são o ponto a direita em cada intervalo:

R 20 = ∑ i = 1 n f x i ∆ x = f 1,05 + f 1,10 + ∙ ∙ ∙ + f 1,95 + f 2 1 20 ≈ 0,481614

Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

T 20 = 1 2 ∙ 1 20 f 1 + 2 f 1,05 + 2 f 1,10 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 1,95 + f 2 ≈ 0,500364

Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 20 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

M 20 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 1,025 + f 1,075 + f 1,125 + ∙ ∙ ∙ + f 1,975 1 20 ≈ 0,499818

Passo 6

Vamos agora achar os erros de E L , E R , E T e E M :

E L = r e a l - L 20 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - L 20 ≈ 1 2 - 0,519114 ≈ - 0,019114

E R = r e a l - R 20 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - R 20 ≈ 1 2 - 0,481614 ≈ 0,018386

E T = r e a l - T 20 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - T 20 ≈ 1 2 - 0,500364 ≈ - 0,000364

E M = r e a l - M 20 = ∫ 1 2 1 x 2 d x   - M 20 ≈ 1 2 - 0,499818 ≈ 0,000182

Passo 7

Podemos perceber que E L e E R têm sempre sinais opostos, assim como E T e E M .

A Regra do ponto médio é aproximadamente duas vezes mais precisa que a aproximação do Trapézio.

Todas as aproximações se tornam mais precisas a medida que n aumenta.

As aproximações do Ponto Médio e do Trapézio são muito mais precisas que a do Ponto Médio.

Quando dobramos n E L e E R diminuem a um fator de 2 , e E T e E M diminuem a um fator de 4 .

Resposta

L 5 = 0,742943 , R 5 = 1,286599 , T 5 = 1,014771 e M 5 = 0,992621

E L = 0,257057 , E R = - 0,286599 , E T = - 0,014771 e E M = 0,007379 para n = 5

L 10 = 0,867782 , R 10 = 1,139610 , T 10 = 1,003696 e M 10 = 0,998152

E L = 0,132218 , E R = - 0,139610 , E T = - 0,003696 e E M = 0,001848 para n = 10

L 20 = 0,932967 , R 20 = 1,068881 , T 20 = 1,000924 , M 20 = 0,999538

E L = 0,067033 , E R = - 0,068881 , E T = - 0,000924 e E M = 0,000462 para n = 20

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