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1 - Calcule caso exista

e ) lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4

Passo 1

Esse limite super parece que não existe, não é mesmo? Uma forma de verificar isso é aproximando do ponto 0 ,   0 por diferentes caminhos e vendo se os valores são iguais ou não. A boa notícia, é que se os limites por diferentes caminhos forem de diferentes resultados, então é porque o limite geral não existe!

Primeiro vamos nos aproximar da origem pela reta y = x :

x = y

Então...

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4 = lim x → 0 ⁡ x 2 x - x x 4 + x 4 = 0

Agora vamos nos aproximar pela reta...

x = 2 y

Substituindo...

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4 = lim y → 0 ⁡ 2 y 2 2 y - y 2 y 4 + y 4 =

lim y → 0 ⁡ 2 y 3 16 y 4 + y 4 =

lim y → 0 ⁡ 2 y 3 17 y 4 = lim y → 0 ⁡ 2 17 y

Esse limite simplesmente não existe, já que se y for a 0 pela direita (pelo positivos) esse limite vai a infinito positivo. E se y for a 0 pela esquerda, o limite fica sendo - ∞ . Em ambos os casos, o resultado é totalmente diferente de 0 , como encontramos no primeiro limite (quando nos aproximamos de 0 ,   0 pela reta x = y .

LOGO: O limite não existe!

Resposta

lim x ,  y → 0 ,   0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4 = ∄

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Calcule, caso exista.d) l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2    
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Calcule, caso exista.b) l i m x , y → 0,0 x x 2 + y 2
Represente graficamente e o domínio da função z = f x , y dada por b)
Represente graficamente e o domínio da função z = f x , y dada por d)