Enunciado

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Calcule a derivada indicada, aplicando os teoremas desta secção.

28. D x x 2 + 2 x + 1 x 2 - 2 x + 1

Passo 1

Agora, se liga, se tem uma divisão de funções,então, você irá usar a regra do quociente pra derivar:

h ´ x = g x f ´ x - f x g ´ x g x 2

´´o segundo vezes a derivada do primeiro menos o primerio vezes derivada do segundo dividido pelo segundo ao quadrado´´.

Na nossa questão,

h x = x 2 + 2 x + 1 x 2 - 2 x + 1

f x = x 2 + 2 x + 1

g x = x 2 - 2 x + 1

Derivando:

h ´ x = ( x 2 - 2 x + 1 ) x 2 + 2 x + 1 ´ - ( x 2 + 2 x + 1 ) (   x 2 - 2 x + 1   ) ´ x 2 - 2 x + 1 2

= ( x 2 - 2 x + 1 ) ( 2 x + 2 ) - ( x 2 + 2 x + 1 ) (   2 x - 2 ) x 2 - 2 x + 1 2

Agora é só fazer essas multiplicações, mas cuidado com o jogo de sinal!

= x 2 2 x + x 2 ⋅ 2 - 2 x 2 x - 2 x 2 + 2 x + 2 - [ x 2 2 x - x 2 ⋅ 2 + 2 x 2 x + 2 x - 2 + 2 x - 2 ]   x 2 - 2 x + 1 2

= 2 x 3 + 2 x 2 - 4 x 2 - 4 x + 2 x + 2 - [ 2 x 3 - 2 x 2 + 4 x 2 - 4 x + 2 x - 2 ]   x 2 - 2 x + 1 2

Calma ai, pequeno ganhafanhoto, que já estamos bem perto do “grand finale’’.

Fazendo o jogo de sinal:

= 2 x 3 + 2 x 2 - 4 x 2 - 4 x + 2 x + 2 - 2 x 3 + 2 x 2 - 4 x 2 + 4 x - 2 x + 2   x 2 - 2 x + 1 2

Reorganizando pela potência do x, do maior para o menor:

2 x 3 - 2 x 3 + 2 x 2 - 4 x 2 + 2 x 2 - 4 x 2   - 4 x + 2 x   + 4 x - 2 x   + 2   + 2                               x 2 - 2 x + 1 2

Eita quanto número, mas se preocupe não que vai ter muitas simplificações! Fazendo essas contas no numerador:

= - 4 x 2 + 4   x 2 - 2 x + 1 2

Vamos mudar esses caras:

= - 4 ( x 2 - 1 )   x - 1 2 2

Opa, surgiram mais simplificações:

= - 4 ( x - 1 ) ( x + 1 )   x - 1 4

Simplificando os x - 1 :

= - 4 ( x + 1 )   x - 1 3

Resposta

- 4 ( x + 1 )   x - 1 3

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