Enunciado

Calcule as integrais que convirjam.

∫ 0 3 d x x - 2

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 0 3 d x x - 2

O integrando não está definido para um valor entre os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ 0 3 d x x - 2 = lim a → 2 - ⁡ ∫ 0 a d x x - 2 + lim b → 2 + ⁡ ∫ b 3 d x x - 2

Assim, caso um dos dois limites não existir, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir.

Passo 3

Assim, podemos verificar um limite de cada vez para fazer essa análise.

Dessa forma, resolvendo o primeiro limite (a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério, beleza?) através do método da substituição simples com:

u = x - 2 ,   t a l   q u e   d u = d x

Teremos:

Quando x = a → u = a - 2

Quando x = 0 → u = - 2

Logo:

lim a → 2 - ⁡ ∫ 0 a d x x - 2 = lim a → 2 - ⁡ ∫ - 2 a - 2 d u u

E resolvendo a integral:

lim a → 2 - ⁡ ∫ - 2 a - 2 d u u = lim a → 2 - ⁡ ln ⁡ u | a - 2 - 2

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → 2 - ⁡ ∫ 0 a d x x - 2 = lim a → 2 - ⁡ ln ⁡ a - 2 - ln ⁡ - 2

Logo:

lim a → 2 - ⁡ ∫ 0 a d x x - 2 = - ∞

Como um dos limites resultou em um valor infinito, não é necessário calcular o outro limite, já que isso faz com que a integral seja divergente.

Resposta

∫ 0 3 d x x - 2 = - ∞

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