Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 8.3 - Ex. 12

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Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

12.

∫ y 2 - 25 y 3   d y   ,         y > 5

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso III.

Passo 2

Agora podemos fazer uma substituição

y = 5 sec ⁡ u d y = 5 ⋅ sec ⁡ u ⋅   t g   u     d u

Então nossa integral fica

∫ y 2 - 25 y 3   d y   = ∫ y 2 - 25 125 sec 3 ⁡ u 5 ⋅ sec ⁡ u ⋅   t g   u     d u = 1 25 ∫ y 2 - 25 ⋅ t g   u s e c 2 u   d u = 1 25 ∫ y 2 - 25 ⋅ t g   u ⋅ c o s 2 u   d u

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica s e c 2 u - 1 = t g 2 u

Então

y 2 25 - 1 = t g 2 u

y 2 25 - 1 = t g   u

y 2 - 25 = 5 t g u

Teremos então

1 25 ∫ y 2 - 25 ⋅ t g   u ⋅ c o s 2 u     d u = 1 25 ∫ 5 ⋅ t g   u ⋅ t g   u ⋅ c o s 2 u   d u = 1 5 ∫ t g 2 u ⋅ c o s 2 u   d u

Passo 4

Sabemos que t g   x = s e n   x cos ⁡ x

Então nossa integral fica

1 5 ∫ t g 2 u ⋅ c o s 2 u   d u = 1 5 ∫ s e n   u cos ⁡ u 2 ⋅ c o s 2 u   d u = 1 5 ∫ s e n 2 u   d u  

Passo 5

Para resolver essa integral vamos usar

s e n 2 u = 1 - cos ⁡ 2 u 2

Então

1 5 ∫ s e n 2 u   d u = 1 5 ∫ 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 u )   d u = 1 10 ∫ d u - ∫ cos ⁡ 2 u   d u  

Vamos calcular as integrais

∫ d u = u + C

E

∫ cos ⁡ 2 u   d u

Vamos fazer

v = 2 u d v = 2 d u

Então

∫ cos ⁡ 2 u   d u = 1 2   ∫ cos ⁡ v   d v = 1 2   s e n   v + C = 1 2 s e n   2 u + C = cos ⁡ u ⋅ s e n   u + C

Então

1 10 ∫ ( 1 - cos ⁡ 2 u )   d u = 1 10   u + cos ⁡ u ⋅ s e n   u + C

Passo 6

Mas sabemos que y = 5 sec ⁡ u e por tanto y = 5 cos ⁡ u , consequentemente cos ⁡ u = 5 y

Por outro lado s e n   u = t g   u ⋅ cos ⁡ u e y 2 25 - 1 = t g   u

1 10   u + cos ⁡ u ⋅ s e n   u + C = 1 10 s e c - 1 y 5 + 5 y ⁡   ⋅ y 2 25 - 1 ⋅ 5 y + C

Isso vai nos dar

1 10 s e c - 1 y 5 +   ⁡ y 2 - 25 ⋅ 5 y 2 + C

Resposta

1 10 s e c - 1 y 5 +   ⁡ y 2 - 25 ⋅ 5 y 2 + C

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