Enunciado

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Calcule a integral.

∫ x   c o s s e c   x   c o t g   x   d x

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa integral? Vamos nessa!

Ela é bem assustadora, né? Mas relaxa! Vai ser tranquilo, a gente só precisa usar as técnicas de integração que vimos no capítulo, beleza?

A gente vê que é tem duas multiplicações ali, né? Então que tal usar a integração por partes? Vamos lá!

Relembrando que essa técnica tem essa cara aqui, olha:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos separar assim:

u = x d u = d x

d v = c o s s e c   x   c o t g   x   d x v =   - c o s s e c   x

Nossa integral vai ficar assim então:

∫ x   c o s s e c   x   c o t g   x   d x =   - x   .   c o s s e c   x - ∫ - c o s s e c   x .   d x

∫ x   c o s s e c   x   c o t g   x   d x =   - x   .   c o s s e c   x + ∫ c o s s e c   x .   d x

Show! Estamos no caminho certo…

Passo 2

Agora precisamos calcular a integral da cossecante… Ui! Pesado! Né não! É só consultar uma tabela de integrais, que temos que:

∫ c o s s e c   x   d x =   - l n   | c o t g   x + c o s s e c   x |  

Então colocando isso na nossa continha, teremos:

∫ x   c o s s e c   x   c o t g   x   d x =   - x   .   c o s s e c   x - l n   | c o t g   x + c o s s e c   x | + C

Prontinho! Conseguimos!

Resposta

∫ x   c o s s e c   x   c o t g   x   d x =   - x   .   c o s s e c   x - l n   | c o t g   x + c o s s e c   x | + C

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Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ e 2 x ⁡ a r c t g e x d x
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ sin 2 ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x d x
Calcule a integral: ∫ s 2 s d s
Calcule a integral: ∫ r e r / 2 d r