Enunciado

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Calcule a integral ∫ x   . e x d x   Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Nessa questão usaremos primeiro o método da substituição. Em seguida usaremos integração tabular, que é um caso de repetição da integração por partes.

Passo 2

Vamos começar com uma substituição:

y =   x

d y = x ' d x

d y = 1 2 . 1 x   d x

d x = 2 . x   d y

∫ x   . e x d x =   ∫ x   . e x 2 . x   d y

=   ∫ 2 . x 2   . e x   d y

=   ∫ 2 . y 2   . e y   d y

Passo 3

Agora usaremos a integração tabular. Separamos ∫ 2 . y 2   . e y   d y em f(x) = 2 . y 2 e g(x) = e y , e seguida montamos a tabela:

f(X) e suas derivadas g(x) e suas integrais

Depois multiplicamos as funções ligadas e combinamos elas de acordo com os sinais das operações indicadas.

∫ 2 . y 2   . e y   d y = 2 y 2 . e y - 4 y . e y + 4 . e y

= e y ( 2 y 2 - 4 y + 4 )

Substituímos y = x

= e y ( 2 y 2 - 4 y + 4 )

=   e x ( 2 x 2 - 4 x + 4 )

=   e x 2 x - 4 x + 4 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ x   . e x d x   =   e x 2 x - 4 x + 4 + c

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Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2   d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3   e - t 2   d t
Calcule a integral. ∫ 0 π x 3 cos ⁡ x   d x
Calcule a integral ∫ x 2 - b x s e n   2 x d x
As funções y = e x 2 e y = x 2 e x 2 não têm primitivas expressas por meio de funções elementares, mas y = 2 x 2 + 1 e x 2 tem. Calcule ∫ 2 x 2 + 1 e x 2 d x
Calcule a integral. ∫ x + sen ⁡ x 2 d x
Calcule a integral. ∫ θ tg 2 ⁡ θ d θ
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ - 1 0 t 2 e - t d t
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ e 2 x ⁡ a r c t g e x d x
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ sin 2 ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x d x
Calcule a integral: ∫ s 2 s d s
Calcule a integral: ∫ r e r / 2 d r