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Calcule a integral.

∫ 0 2 2 x ² 1 - x ² d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos no denominador um formato que é possível usar uma das formas da Tabela de Substituição Trigonométrica, com a seguinte cara a 2 - x 2 , então vamos ter a substituição:

x = a sen ⁡ θ = 1 ∙ sen ⁡ θ = sen ⁡ θ

Vamos agora achar diferencial de x , derivando:

d x = cos ⁡ θ d θ

Vamos ter que mudar os limites de integração também, o arco que tem seno igual a 0 é 0 rad, e o que tem seno igual a 2 2 é π 4 rad:

A substituição ficamos com, :

∫ 0 2 2 x ² 1 - x ² d x = ∫ 0 π 4 sen 2 ⁡ θ 1 - sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 4 sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 4 sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 4 sen 2 ⁡ θ d θ

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

∫ sen 2 ⁡ θ d θ

Vamos usar a identidade:

sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Assim:

∫ sen 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ 1 2 d θ + ∫ - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ k d x = k x + C

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Substituindo temos:

∫ sen 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 d θ + ∫ - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 1 2 θ - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ d θ = 1 2 θ - 1 4 sen ⁡ 2 θ

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 0 2 2 x ² 1 - x ² d x = ∫ 0 π 4 sen 2 ⁡ θ d θ = 1 2 θ - 1 4 sen ⁡ 2 θ 0 π 4 = 1 2 . π 4 - 1 4 sen ⁡ 2 . π 4 - 1 2 . 0 - 1 4 sen ⁡ 2.0 = π 8 - 1 4

Resposta

∫ 0 2 2 x ² 1 - x ² d x = π 8 - 1 4

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