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Calcule a integral.

∫ e - θ . cos ⁡ 2 θ . d θ

Passo 1

Vamos lá, a questão é bem direta, a gente tem que calcular a integral:

∫ e - θ . cos ⁡ 2 θ . d θ

Mas não é uma integral simples de se calcular, concorda?! A gente vai ter que usar o método de integral por partes!

Como escolheremos o u e o d v ?

Para u   basta usarmos a sequência LIATE:

Temos e θ que é exponencial e cos ⁡ 2 θ que é trigonométrica. Pela ordem de preferência:

u = cos ⁡ 2 θ

Logo:

d v = e - θ d θ

Certo?!

NÃAAAOOO!!!!Aqui a gente tem um probleminha!! cos ⁡ 2 θ   não é uma função trigonométrica qualquer, esse “ 2 θ ” complica tudo!! Então temos que fazer:

u = e - θ

E :

d v = cos ⁡ 2 θ d θ

Agora vamos colocar a mão na massa!!!

Passo 2

Temos u e d v , precisamos agora acha d u e v !

Começando por d u :

d u d θ = d d θ ( e - θ )

Derivando, temos:

d u d θ = - e - θ

Queremos d u , então:

d u = - e - θ d θ

Agora v :

d v = cos ⁡ 2 θ d θ

Integrando:

∫ d v = ∫ cos ⁡ 2 θ d θ

Mas como a gente integra isso?!!

Vamos fazer a = 2 θ , então:

d a d θ = 2

E:

d θ = d a 2

Substituindo na integral:

∫ d v = ∫ cos ⁡ a 2   d a

Agora podemos resolver:

v = 1 2 sin ⁡ a

Logo:

v = 1 2 sin ⁡ 2 θ  

Passo 3

Agora vamos substituir na integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Só relembrando:

u = e - θ

v = 1 2 sin ⁡ 2 θ  

d u = - e - θ d θ

d v = cos ⁡ 2 θ d θ

Substituindo:

∫ e - θ cos ⁡ 2 θ   d θ = ( e - θ × 1 2 sin ⁡ 2 θ   )   - ∫ 1 2 sin ⁡ 2 θ   × - e - θ d θ

Arrumando:

∫ e - θ cos ⁡ 2 θ   d θ = 1 2 e - θ sin ⁡ 2 θ     - - 1 2 ∫ e - θ  sin ⁡ 2 θ   d θ

Passo 4

E AGORA?!! COMO A GENTE SAI DISSO??!!

∫ e - θ cos ⁡ 2 θ   d θ = 1 2 e - θ sin ⁡ 2 θ     - - 1 2 ∫ e - θ  sin ⁡ 2 θ   d θ

Vamos fazer integração por partes de novo!!!

Vamos pegar só a integral da parte direita da igualdade e vamos chamar ela de I :

I = ∫ e - θ sin ⁡ 2 θ   d θ

A integração por partes é:

∫ U   d V = U V - ∫ V   d U

Agora fazemos:

U = e - θ

d V = sin ⁡ 2 θ

Precisamos de d U e V :

d U = - e - θ d θ

E:

V = - 1 2 cos ⁡ 2 θ

Substituindo:

I = e - θ × - 1 2 cos ⁡ 2 θ - ∫ - 1 2 cos ⁡ 2 θ ( - e - θ ) d θ

Arrumando:

I = - 1 2 e - θ cos ⁡ 2 θ - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ e - θ d θ

Passo 5

No final do passo 3 tinhamos chegado em:

∫ e - θ cos ⁡ 2 θ   d θ = 1 2 e - θ sin ⁡ 2 θ     - - 1 2 I

E achamos no passo 4 :

I = - 1 2 e - θ cos ⁡ 2 θ - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ e - θ d θ

Mas apareceu uma nova integral em I , que vamos chamar de I I :

I I = ∫ cos ⁡ 2 θ e - θ d θ

Dai ficamos com:

I = - 1 2 e - θ cos ⁡ 2 θ - 1 2   I I

Substituindo isso na equação lá de cima, do iniciozinho do nosso passo 5 ficamos com:

∫ e - θ cos ⁡ 2 θ   d θ = 1 2 e - θ sin ⁡ 2 θ     - - 1 2 - 1 2 e - θ cos ⁡ 2 θ - 1 2   I I

Ta meio difiícil de visualizar, não ta?!! Isso é o que a gente conseguiu até agora! Maaas se a gente olhar de novo pra quem é o I I a gente vai ver que ele é igualzinho a integral do nosso problema inicial!!!

Que é o cara que ta do lado esquerdo da igualdade. Viu???!!

Então vamos substituir ele por I I também:

I I = 1 2 e - θ sin ⁡ 2 θ     - - 1 2 - 1 2 e - θ cos ⁡ 2 θ - 1 2   I I

Arrumando:

I I = 1 2 e - θ sin ⁡ 2 θ     - 1 4 e - θ cos ⁡ 2 θ - 1 4   I I

Jogando o I I pra esquerda e arrumando mais um pouco:

I I = - 1 5 e - θ ( cos ⁡ 2 θ - 2 sin ⁡ 2 θ   )  

Então chegamos em:

∫ e - θ cos ⁡ 2 θ   d θ = - 1 5 e - θ cos ⁡ 2 θ - 2 sin ⁡ 2 θ   + C

Sem esquecer da constante!!!

Resposta

∫ e - θ cos ⁡ 2 θ   d θ = - 1 5 e - θ cos ⁡ 2 θ - 2 sin ⁡ 2 θ   + C

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