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Calcule a integral.

∫ θ tg 2 ⁡ θ d θ

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já está simplificada, então vamos ver se dá para usar Substituição Simples. Infelizmente não tem nenhuma parte dentro da integral que seja derivada dela, então vamos tentar Integração por Partes:

∫ f x g ' x d x = f x g x - ∫ g x f ' x   d x

Vamos fazer então f θ = θ e g ' θ = tg 2 ⁡ θ d θ = sec 2 ⁡ θ - 1 :

f ' θ = d θ e g θ = tg ⁡ θ - θ

Vamos substituir agora:

∫ θ tg 2 ⁡ θ d θ = θ tg ⁡ θ - θ - ∫ tg ⁡ θ - θ   d θ

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos calcular a integral:

∫ tg ⁡ θ - θ   d θ = ∫ tg ⁡ θ d θ + ∫ - θ   d θ

Agora é fácil achar a primitiva da função da primeira, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ tg ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + C

Então ficamos com:

∫ tg ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + C

Passo 3

Na segunda usamos duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Então ficamos com:

∫ - θ   d θ = - ∫ θ   d θ = - θ 2 2 + C

Vamos juntar tudo agora:

∫ tg ⁡ θ - θ   d θ = ∫ tg ⁡ θ d θ + ∫ - θ   d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ - θ 2 2 + C

Agora vamos voltar a expressão original:

∫ θ tg 2 ⁡ θ d θ = θ tg ⁡ θ - θ - ∫ tg ⁡ θ - θ   d θ = θ tg ⁡ θ - θ - ln ⁡ sec ⁡ θ + θ 2 2 + C

Resposta

∫ θ tg 2 ⁡ θ d θ = θ tg ⁡ θ - θ - ln ⁡ sec ⁡ θ + θ 2 2 + C

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Calcule a integral: ∫ s 2 s d s
Calcule a integral: ∫ r e r / 2 d r
Calcule a integral: ∫ t sen h ⁡ m t d t