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Calcule a integral

∫ π / 4 π / 3 ln ⁡ t g   x s e n   x cos ⁡ x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Podemos reescrever a integral da seguinte maneira

∫ π / 4 π / 3 ln ⁡ t g   x s e n   x cos ⁡ x d x = ∫ π / 4 π / 3 ln ⁡ t g   x t g   x sec 2 ⁡ x d x

Fazendo a seguinte substituição, temos

u = t g   x ; d u = sec 2 ⁡ x d x

∫ π / 4 π / 3 ln ⁡ t g   x t g   x sec 2 ⁡ x d x = ∫ 1 3 ln ⁡ u u d u

Passo 3

Resolvendo a integral em u , temos

∫ 1 3 ln ⁡ u u d u = 1 2 ln ⁡ u 2 1 3 = 1 8 ln ⁡ 3 2

Resposta

∫ π / 4 π / 3 ln ⁡ t g   x s e n   x cos ⁡ x d x = 1 8 ln ⁡ 3 2

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