Enunciado

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Calcule a integral.

∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x

Passo 1

Devemos calcular a integral dada usando propriedades de funções trigonométricas e a regra da substituição. Vamos começar simplificando o argumento das funções trigonométricas fazendo t = π x , de modo que d t = π   d x . Desta forma, temos que d x = d t / π . Assim, a integral fica:

∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x = 1 π   ∫ s e n 2 t cos 5 ⁡ t   d t

Agora vamos separar cos 5 ⁡ t = cos 4 ⁡ t cos ⁡ t = 1 - s e n 2 t 2 cos ⁡ t :

∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x = 1 π ∫ s e n 2 t   1 - s e n 2 t 2 cos ⁡ t   d t

Como a derivada do seno é cosseno, vamos fazer a substituição u = s e n   t . Assim, d u = cos ⁡ t   d t .

Passo 2

Fazendo a substituição u = s e n   t , a integral fica

∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x = 1 π ∫ u 2 1 - u 2 2   d u = 1 π   ∫ u 2 1 - 2 u 2 + u 4 d u

Assim,

∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x = 1 π ∫ u 2 - 2 u 4 + u 6 d u

Passo 3

Calculando a integral:

∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x = 1 π u 3 3 - 2 u 5 5 + u 7 7 + C

Voltando a variável original com u = s e n   ( π x ) :

∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x = 1 π   1 3 s e n 3 π x - 2 5 s e n 5 π x + 1 7 s e n 7 π x + C

Resposta

1 π   1 3 s e n 3 π x - 2 5 s e n 5 π x + 1 7 s e n 7 π x + C

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
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