Enunciado

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Calcule a integral ∫ ∫ ∫ E ( x z - y 3 ) d V , onde

E = x ,   y ,   z - 1 ≤ x ≤ 1   ,   0 ≤ y ≤ 2   ,   0 ≤ z ≤ 1 }

utilizando três ordens diferentes de integração.

Passo 1

Beleza, galera? Que tal integrar primeiro em relação a y , depois z e depois x ?

∫ ∫ ∫ E ( x z - y 3 ) d V = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 ∫ 0 2 ( x z - y 3 ) d y   d z   d x = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 x y z - y 4 4 0 2 d z   d x = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 ( 2 x z - 4 ) d z   d x = ∫ - 1 1 x z 2 - 4 z 0 1 d x = ∫ - 1 1 ( x - 4 ) d x = x 2 2 - 4 x - 1 1 = 1 2 - 4 - 1 2 - 4 = - 8

Passo 2

Show! Agora vamos integrar primeiro em relação a z , depois y e depois x :

∫ ∫ ∫ E ( x z - y 3 ) d V = ∫ - 1 1 ∫ 0 2 ∫ 0 1 ( x z - y 3 ) d z   d y   d x = ∫ - 1 1 ∫ 0 2 x z 2 2 - y 3 z 0 1 d y   d x = ∫ - 1 1 ∫ 0 2 x 2 - y 3 d y   d x = ∫ - 1 1 x y 2 - y 4 4 0 2 d x = ∫ - 1 1 ( x - 4 ) d x = x 2 2 - 4 x - 1 1 = 1 2 - 4 - 1 2 - 4 = - 8

Passo 3

Beleza! Também podemos fazer a seguinte ordem: integrar primeiro em relação a z , depois x e depois y :

∫ ∫ ∫ E ( x z - y 3 ) d V = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 ( x z - y 3 ) d z   d x   d y = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 x z 2 2 - y 3 z 0 1 d x   d y = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 x 2 - y 3 d x   d y = ∫ 0 2 x 2 4 - x y 3 - 1 1 d y = ∫ 0 2 ( - 2 y 3 ) d y = - y 4 2 0 2 = - 8

Resposta

- 8

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Calcule a integral do Exemplo 1 , integrando primeiro em relação a y , depois z e então x .