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Calcule a integral

∫ 5 + 4 x - x 2   d x

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Temos que

5 + 4 x - x 2 = - x 2 - 4 x - 4 + 9 = - x - 2 2 + 9

Agora, sugiro dizer que

x - 2 = 3 sin ⁡ θ

Diferenciando, temos que

d x = 3 cos ⁡ θ d θ

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

∫ 5 + 4 x - x 2   d x = ∫ 9 - x - 2 2   d x = ∫ 9 - 9 sin 2 ⁡ θ ⋅ 3 cos ⁡ θ d θ = ∫ 9 1 - sin 2 ⁡ θ ⋅ 3 cos ⁡ θ d θ

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 ?! Vamos usá-la, então, substituindo

∫ 9 1 - sin 2 ⁡ θ ⋅ 3 cos ⁡ θ d θ = ∫ 9 cos 2 ⁡ θ ⋅ 3 cos ⁡ θ d θ = ∫ 9 cos 2 ⁡ θ d θ = 9 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Precisamos lembrar de outra propriedade trigonométrica: cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ , então substituindo

9 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ = 9 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = 9 2 θ + 1 2 sin ⁡ 2 θ + c = 9 2 θ + 9 4 sin ⁡ 2 θ + c = 9 2 θ + 9 4 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + c = 9 2 θ + 9 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + c

Agora, precisamos encontrar uma expressão para θ ,     sin ⁡ θ e cos ⁡ θ em função de x . Lembra que dizemos que

x - 2 = 3 sin ⁡ θ

sin ⁡ θ = x - 2 3

Temos que

θ = sin - 1 ⁡ x - 2 3

Da resolução do exercício, vimos que

5 + 4 x - x 2 = 3 cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 5 + 4 x - x 2 3

Passo 3

Agora, so falta a gente substituir as expressões que encontramos para θ ,     sin ⁡ θ e cos ⁡ θ

9 2 θ + 9 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ + c = 9 2 sin - 1 ⁡ x - 2 3 + 9 2 ⋅ x - 2 3 ⋅ 5 + 4 x - x 2 3 + c = 9 2 sin - 1 ⁡ x - 2 3 + 1 2 ( x - 2 ) 5 + 4 x - x 2 + c

Resposta

∫ 5 + 4 x - x 2   d x = 9 2 sin - 1 ⁡ x - 2 3 + 1 2 x - 2 5 + 4 x - x 2 + c

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Verifique a fórmula 31 a por derivação e b pela substituição u = a sin
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral
Use a substituição trigonométrica pra verificar que ∫ 0 x a 2 - t 2 &n
Calcule a integral. ∫ 2 2 1 t 3 t 2 - 1 d t
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Nos exercícios de 63 a 94, calcule a integral definida. 6 7 . ∫ 0 2 t
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