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Calcule a integral.

∫ x 3 + x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 2 )   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral. Para isso, vamos recorrer às frações parciais. Como o grau do denominador é maior que o grau do numerador, podemos fazer a decomposição diretamente:

x 3 + x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 2 ) = A x + B x 2 + 1 + C x + D x 2 + 2

Assim,

x 3 + x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 2 ) = A x + B x 2 + 2 + ( C x + D ) ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 ( x 2 + 2 )

Portanto,

A + C x 3 + B + D x 2 + 2 A + C x + ( 2 B + D ) = x 3 + x 2 + 2 x + 1

Assim, temos dois sistemas para resolver:

A + C = 1 2 A + C = 2             e                 B + D = 1 2 B + D = 1

Resolvendo o primeiro sistema, chegamos a A = 1 e C = 0 . Já no segundo, obtemos B = 0 e D = 1 . Assim,

x 3 + x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 2 ) = x x 2 + 1 + 1 x 2 + 2

Passo 2

Portanto, devemos calcular a integral

∫ x 3 + x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 2 )   d x = ∫ x x 2 + 1 d x + ∫ 1 x 2 + 2   d x

A primeira integral é calculada fazendo u = x 2 + 1 ⇒ d u = 2 x d x :

∫ x x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ | u | = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 )

Já a segunda integral é simplificada fazendo-se x = 2 t ⇒ d x = 2   d t :

∫ 1 x 2 + 2   d x = ∫ 1 2 t 2 + 2   2 d t = 2 2 ∫ 1 t 2 + 1 d t = 1 2 a r c t g   t = 1 2 a r c c t g x 2

Passo 3

Desta forma,

∫ x 3 + x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 2 )   d x = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) + 1 2 a r c c t g x 2 + C

Resposta

1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) + 1 2 a r c c t g x 2 + C

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