Enunciado

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Calcule a integral ∫ 1 1 + 2 e x - e - x d x .

Passo 1

Para resolver a integral será necessário fazer uma substituição simples do tipo u.du, da seguinte forma:

u = e x

x = ln ⁡ u

d x = d u u

Aplicando na integral:

∫ d u u 1 + 2 u - 1 u

∫ d u 2 u 2 + u - 1

Separando o quadrado irredutível do denominador em duas frações distintas:

∫ 2 3 2 u - 1 - 1 3 u + 1 d u

Passo 2

Resolvendo a integral...

∫ 2 3 2 u - 1 - 1 3 u + 1 d u

1 3 l n 2 u - 1 - 1 3 l n u + 1 + C

Voltando a variável x:

1 3 l n 2 e x - 1 - 1 3 l n e x + 1 + C

Resposta

1 3 l n 2 e x - 1 - 1 3 l n e x + 1 + C

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