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Calcule a integral.

∫ 1 + cos ⁡ θ 2   d θ

Passo 1

Precisamos calcular a integral indefinida usando relações trigonométricas. O primeiro passo é desenvolver a expressão dentro da integral:

∫ 1 + cos ⁡ θ 2   d θ = ∫ 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ   d θ

Usando a relação do arco duplo:

cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ = cos 2 ⁡ θ - 1 - cos 2 ⁡ θ = 2 cos 2 ⁡ θ - 1

Assim,

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Passo 2

Substituindo a relação do arco duplo na integral:

∫ 1 + cos ⁡ θ 2   d θ = ∫ 1 + 2 cos ⁡ θ + 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ = ∫ 3 2 + 2 cos ⁡ θ + 1 2 cos ⁡ 2 θ   d θ

Passo 3

Calculando a integral:

∫ 1 + cos ⁡ θ 2   d θ = 3 θ 2 + 2   s e n   θ + 1 4 s e n   2 θ + C

Resposta

3 θ 2 + 2   s e n   θ + 1 4 s e n   2 θ + C

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,   s e   n for um inteiro positivo maior do que 1.
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