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Calcule a integral

∫ d x a x 2 - b 2 3 2

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

a x = b sec ⁡ θ

x = b a sec ⁡ θ

Diferenciando, temos que

d x = b a sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Tudo beleza?! Vamos substituir isso na nossa integral

∫ d x a x 2 - b 2 3 2 = ∫ b a sec ⁡ θ tan ⁡ θ b 2 sec 2 ⁡ θ - b 2 3 2 d θ = ∫ b a sec ⁡ θ tan ⁡ θ b 2 sec 2 ⁡ θ - 1 3 2 d θ

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ ?! Vamos usá-la, então, substituindo

∫ b a sec ⁡ θ tan ⁡ θ b 2 sec 2 ⁡ θ - 1 3 2 d θ = b a ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ b 2 tan 2 ⁡ θ 3 2 d θ = b a ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ b 3 tan 3 ⁡ ( θ ) d θ = 1 a b 2 ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ = 1 a b 2 ∫ cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ = 1 a b 2 ∫ csc ⁡ θ cot ⁡ θ d θ

Passo 2

Podemos resolver esta integral rapidamente porque ela é tabelada, então

1 a b 2 ∫ csc ⁡ θ cot ⁡ θ d θ = - 1 a b 2 csc ⁡ θ + c

Precisamos agora encontrar uma expressão para csc ⁡ θ em função de x , lembra que dizemos que

x = b a sec ⁡ θ

a x b = 1 cos ⁡ θ

Então

cos ⁡ θ = b a x

Da integral, descobrimos que

a x 2 - b 2 = b tan ⁡ θ

Então

sin ⁡ θ cos ⁡ θ = a x 2 - b 2 b

Se multiplicarmos tudo pelo cos ⁡ θ

sin ⁡ θ = a x 2 - b 2 b ⋅ b a x

sin ⁡ θ = a x 2 - b 2 a x

Assim, encontramos a csc ⁡ θ invertendo as frações

csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ = a x a x 2 - b 2

Passo 3

Agora que encontramos uma expressão para csc ⁡ θ , basta substituirmos no resultado da integral, ficamos com

- 1 a b 2 csc ⁡ θ + c = - 1 a b 2 ⋅ a x a x 2 - b 2 + c = - x b 2 a x 2 - b 2 + c

Resposta

∫ d x a x 2 - b 2 3 2 = - x b 2 a x 2 - b 2 + c

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