Enunciado

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Calcule a integral

∫ 1 x 2 4 x 2 - 1 d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Utilizando a seguinte substituição trigonométrica, temos

2 x = sec ⁡ θ ; 2 d x = sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

∫ 1 x 2 4 x 2 - 1 d x = ∫ 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 1 4 sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

Podemos simplificar a integral utilizando as relações trigonométricas, ficando com

∫ 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 1 4 sec 2 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ =   ∫ 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Passo 3

Podemos novamente simplificar a integral, ficando com

∫ 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = 2 ∫ cos ⁡ θ d θ = 2 sin ⁡ θ + C

Utilizando o seguinte triângulo, podemos encontrar o valor de sin ⁡ θ

2 sin ⁡ θ + C = 2 4 x 2 - 1 2 x + C = c a t e t o   o p o s t o   a o   â n g u l o h i p o t e n u s a

Resposta

∫ 1 x 2 4 x 2 - 1 d x = 4 x 2 - 1 x + C

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