Enunciado

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Calcule a integral ∫ e - y . cos ⁡ y   d y usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   c o s   y  

Pois é o valor mais simples de derivar.

d u   =   ( cos ⁡ y ) ’ .   d y

  d v   =   e - y   d y

d u   =   -   s e n   y   d y      

v = ∫ e - y   d y

    v   =   1 - 1   e - y  

Observe que para achar o valor de “v” usamos a fórmula: ∫ e a x   d x =   1 a .   e a x

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ e - y . cos ⁡ y   d y         = ( cos ⁡ y ) . ( - e - y ) -   ∫ ( - e - y ) . ( - s e n   y )   d y

= - cos ⁡ y . e - y -   ∫ e - y . s e n   y   d y

Para poder resolver ∫ e - y . s e n   y   d y utilizamos novamente o método da integração por partes:

w   =   s e n   y      

d w   =   ( s e n   y ) ’   d y  

d w   =   c o s   y   d y  

  d z   =   e - y . d y

z = ∫ e - y   d y

      z   = - e - y

∫ w   d z = w . z -   ∫ z   d w

∫ e - y . s e n   y   d y   = ( s e n   y   ) . ( - e - y ) -   ∫ - e - y   . cos ⁡ y   d y

= - s e n   y . e - y +   ∫ e - y   . cos ⁡ y   d y

Iremos substituir desse modo para facilitar os cálculos:

∫ e - y . cos ⁡ y   d y         = - cos ⁡ y . e - y -   ∫ e - y . s e n   y   d y

∫ e - y . cos ⁡ y   d y   = - cos ⁡ y . e - y -   - s e n   y . e - y +   ∫ e - y   . cos ⁡ y   d y

∫ e - y . cos ⁡ y   d y = - cos ⁡ y . e - y +   s e n   y . e - y -   ∫ e - y   . cos ⁡ y   d y

∫ e - y   . cos ⁡ y   d y + ∫ e - y   . cos ⁡ y   d y = - cos ⁡ y . e - y +   s e n   y . e - y

2 . ∫ e - y   . cos ⁡ y   d y = e - y ( - cos ⁡ y +   s e n   y )

∫ e - y   . cos ⁡ y   d y = e - y ( - cos ⁡ y +   s e n   y ) 2 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração).

Resposta

∫ e - y . cos ⁡ y   d y = e - y ( - cos ⁡ y +   s e n   y ) 2 + c

Exercícios de Livros Relacionados

Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2   d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3   e - t 2   d t
Calcule a integral. ∫ 0 π x 3 cos ⁡ x   d x
Calcule a integral ∫ x 2 - b x s e n   2 x d x
As funções y = e x 2 e y = x 2 e x 2 não têm primitivas expressas por meio de funções elementares, mas y = 2 x 2 + 1 e x 2 tem. Calcule ∫ 2 x 2 + 1 e x 2 d x
Calcule a integral. ∫ x + sen ⁡ x 2 d x
Calcule a integral. ∫ θ tg 2 ⁡ θ d θ
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ - 1 0 t 2 e - t d t
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ e 2 x ⁡ a r c t g e x d x
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ sin 2 ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x d x
Calcule a integral: ∫ s 2 s d s
Calcule a integral: ∫ r e r / 2 d r