Enunciado

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Calcule a integral.

∫ s e n 6 x cos 3 ⁡ x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral. Vamos ter que usar as relações trigonométricas, com destaque para a fundamental: s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 .

Vamos reescrever a integral como

∫ s e n 6 x cos 3 ⁡ x   d x = ∫ s e n 6 x cos 2 ⁡ x cos ⁡ x   d x = ∫ s e n 6 x     1 - s e n 2 x cos ⁡ x   d x

Agora, lembre-se que a derivada do seno é cosseno e vamos fazer a substituição u = s e n   x de modo que d u = cos ⁡ x   d x .

Passo 2

Fazendo a substituição u = s e n   x , a integral fica

∫ s e n 6 x cos 3 ⁡ x   d x = ∫ u 6   1 - u 2   d u = ∫ u 6 - u 8   d u

Calculando a integral:

∫ s e n 6 x cos 3 ⁡ x   d x = u 7 7 - u 9 9 + C

Passo 3

Voltando a variável original:

∫ s e n 6 x cos 3 ⁡ x   d x = s e n 7 x 7 - s e n 9 x 9 + C

Resposta

s e n 7 x 7 - s e n 9 x 9 + C

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x
Calcule a integral. ∫ s e n 6 π x   d x
Calcule a integral indefinida. ∫ tg - 1 ⁡ x 1 + x 2 d x
Calcule a integral. ∫ 1 + cos ⁡ θ 2   d θ
Calcule a integral. ∫ cos 2 ⁡ x   t g 3 x   d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec 4 ⁡ ( θ ) tan 4 ⁡ ( θ ) d θ
Calcule a integral ∫ 0 π 3 tan 5 ⁡ ( x ) sec 6 ⁡ ( x ) d x
Calcule a integral ∫ tan 2 ⁡ x + tan 4 ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ sin ⁡ ϕ cos 3 ⁡ ϕ d ϕ