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Calcule a integral

∫ tan 5 ⁡ x d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos fazer o seguinte,

∫ tan 5 ⁡ x d x = ∫ tan 4 ⁡ x t a n ⁡ ( x )   d x = ∫ tan 2 ⁡ x 2 t a n ⁡ ( x )   d x

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan 2 ⁡ ( x ) + 1 = sec 2 ⁡ ( x )

Então, substituindo

∫ tan 2 ⁡ x 2 t a n ⁡ ( x )   d x = ∫ sec 2 ⁡ x - 1 2 t a n ⁡ ( x ) d x = ∫ sec 4 ⁡ x tan ⁡ x - 2 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x + tan ⁡ x d x

Pra facilitar, vamos separar essa integral em 3 integrais

∫ sec 4 ⁡ x tan ⁡ x - 2 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x + tan ⁡ x d x = ∫ sec 4 ⁡ x t a n ⁡ ( x ) d x - 2 ∫ sec 2 ⁡ x t a n ⁡ ( x ) d x + ∫ t a n ⁡ ( x ) d x

Passo 2

Vamos calcular separadamente cada integral pra depois substituirmos.

Calculando a primeira integral, temos

∫ sec 4 ⁡ x t a n ⁡ ( x ) d x = ∫ sec 3 ⁡ x s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) d x

Seja u = s e c ⁡ ( x ) , temos que d u = sec ⁡ x tan ⁡ x d x , então, substituindo

∫ sec 3 ⁡ x s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) d x = ∫ u 3 d u = 1 4 u 4 + c = 1 4 sec 4 ⁡ x + c 1

Calculando a segunda integral, temos

∫ sec 2 ⁡ x t a n ⁡ ( x ) d x

Seja u = t a n ⁡ ( x ) , temos que d u = sec 2 ⁡ ( x ) d x , então, substituindo

∫ sec 2 ⁡ x t a n ⁡ ( x ) d x = ∫ u   d u = 1 2 u 2 + c = 1 2 tan 2 ⁡ x + c 2

Calculando a terceira e ultima integral, temos

∫ t a n ⁡ ( x ) d x = l n ⁡ | s e c ⁡ ( x ) | + c 3

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Passo 3

Agora que calculamos cada integral, podemos substituir o resultado de cada uma

∫ sec 4 ⁡ x t a n ⁡ ( x ) d x - 2 ∫ sec 2 ⁡ x t a n ⁡ ( x ) d x + ∫ t a n ⁡ ( x ) d x = 1 4 sec 4 ⁡ x + c 1 - 2 1 2 tan 2 ⁡ x + c 2 + l n ⁡ | s e c ⁡ ( x ) | + c 3

Pensa no seguinte, se somarmos três constantes, o resultado será uma nova constante, então podemos substituir todas as constantes por uma constate só, que vou chamar arbritrariamente de k . Então

1 4 sec 4 ⁡ x + c 1 - 2 1 2 tan 2 ⁡ x + c 2 + l n ⁡ | s e c ⁡ ( x ) | + c 3 = 1 4 sec 4 ⁡ x - tan 2 ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + k

Resposta

∫ tan 5 ⁡ x d x = 1 4 sec 4 ⁡ x - tan 2 ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + k

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,   s e   n for um inteiro positivo maior do que 1.
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcule a integral definida. ∫ 1 / 6 1 / 2 c o s s e c   π t   c o t g   π t   d t
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x
Calcule a integral. ∫ s e n 6 π x   d x
Calcule a integral. ∫ s e n 6 x cos 3 ⁡ x   d x
Calcule a integral indefinida. ∫ tg - 1 ⁡ x 1 + x 2 d x
Calcule a integral. ∫ 1 + cos ⁡ θ 2   d θ
Calcule a integral. ∫ cos 2 ⁡ x   t g 3 x   d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec 4 ⁡ ( θ ) tan 4 ⁡ ( θ ) d θ
Calcule a integral ∫ 0 π 3 tan 5 ⁡ ( x ) sec 6 ⁡ ( x ) d x
Calcule a integral ∫ sin ⁡ ϕ cos 3 ⁡ ϕ d ϕ