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Calcule a integral abaixo:

40 –

∫ e 4 t + 2 e 2 t - e t e 2 t + 1 d t

Passo 1

Primeiramente urilizaremos o método de substituição udu:

u = e t

d u = e t   d t

d t = 1 d u = 1 e t

Substituindo:

∫ u 4 + 2 u 2 - u u 2 + 1 ⋅ 1 u d u =   ∫ u 4 + 2 u 2 - u u 3 + u d u

Colocando u em evidência:

∫ u ( u 3 + 2 u - 1 ) u ( u 2 + 1 ) d u =   ∫ u 3 + 2 u - 1 u 2 + 1 d u

Separando a integral:

∫ u ³ u 2 + 1 d u +   ∫ 2 u u 2 + 1 d u -   ∫ 1 u 2 + 1 d u

Passo 2

∫ u ³ u 2 + 1 d u +   ∫ 2 u u 2 + 1 d u -   ∫ 1 u 2 + 1 d u

Resolvendo a primeira integral temos:

∫ u ³ u 2 + 1 d u

Utilizando uma nova substituição tdt

t = u 2 + 1

d t = 2 u   d u

d u = 1 d t = 1 2 u

Substituindo:

∫ u ³ t ⋅ 1 2 u d t =   ∫ u 2 2 t d t

Se t = u 2 + 1 ,   u 2 = t - 1

∫ t - 1 2 t d t = 1 2 ∫ t - 1 t d t = 1 2 ∫ t t - 1 t d t = 1 2 ∫ 1 - 1 t d t = 1 2 ∫ 1   d t - ∫ 1 t d t

Assim:

1 2 t - ln ⁡ t

Substituindo para t = u 2 + 1

1 2 ( u 2 + 1 - ln ⁡ u 2 + 1

Resolvendo a segunda Integral:

∫ 2 u u 2 + 1 d u

Utilizando tdt:

t = u 2 + 1

d t = 2 u   d u

d u = 1 d t = 1 2 u

Substituindo:

∫ 2 u t ⋅ 1 2 u d t =   ∫ 1 t d t = ln ⁡ t

Para t = u 2 + 1

ln ⁡ u 2 + 1

Resolvendo a Terceira Integral:

-   ∫ 1 u 2 + 1 d u =   - t g - 1 u

Passo 3

Juntando os resultados das integrais:

1 2 ( u 2 + 1 - ln ⁡ u 2 + 1 +   ln ⁡ u 2 + 1 - t g - 1 ( u )

Juntando os resultados obtidos, para u = e t :

1 2 ( e 2 t + 1 - ln ⁡ e 2 t + 1 +   ln ⁡ e 2 t + 1 - t g - 1 ( e t )

Multiplicando por 1 2

1 2 e 2 t + 1 2 - 1 2 ln ⁡ e 2 t + 1 + ln ⁡ e 2 t + 1 - t g - 1 ( e t ) ⁡  

P a r a :   - 1 2 + 1 = 1 2

Assim:

1 2 e 2 t + 1 2 + 1 2 ln ⁡ e 2 t + 1 - t g - 1 ( e t )

1 2 + C = C

1 2 e 2 t + 1 2 ln ⁡ e 2 t + 1 - t g - 1 e t + C

Resposta

1 2 e 2 t + 1 2 ln ⁡ e 2 t + 1 - t g - 1 e t + C

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