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Calcule a integral abaixo sem usar tabela :

∫ - ∞ ∞ 2 x e - x 2   d x

Passo 1

Neste caso temos uma integral com os dois limites sendo infinito, logo temos uma integral imprópria . Por definição se existir uma função contínua f ( x ) em ( - ∞ , ∞ ) , então:

  ∫ - ∞ ∞ f x d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 f ( x ) d x +   lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b f ( x ) d x

Assim:

  ∫ - ∞ ∞ 2 x e - x 2  dx = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 2 x e - x 2   d x + lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b 2 x e - x 2   d x

Passo 2

Calculando a integral de forma indefinida por substituição, temos:

∫ 2 x e - x 2   d x

u =   - x 2             d u =   - 2 x   d x ⇒   - d u = 2 x   d x

∫ 2 x e - x 2 d x = ∫ - e u   d u =   - e u + C   =   - e - x 2 + C

Lembre-se que esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

Passo 3

Aplicando o resultado da integral dentro do limite com seus limites de integração, temos:

  lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 2 x e - x 2   d x + lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b 2 x e - x 2   d x   =   lim a → - ∞ ⁡ ( - e - x 2 ) 0 a +   lim b → ∞ ⁡ ( - e - x 2 ) b 0 =  

= lim a → - ∞ ⁡ - e 0 - - e - a 2 +   lim b → ∞ ⁡ - e - b 2 - - e 0  

Relembrando que de forma genérica calculamos a integral definida da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 4

Aplicando o limite, temos:

l i m a → - ∞ - 1 + 1 e a 2 +   lim b → ∞ ⁡ - 1 e b 2 + 1 = - 1 + 1 = 0

Resposta

0

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