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Calcule a integral abaixo sem usar tabela:

∫ 0 1 ( - ln ⁡ x )     d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por partes . Esse método é aplicado quando temos duas funções distintas (trigonométricas, logarítmica, polinomial, exponencial, etc), sendo uma delas “fácil” de integrar e a outra “mais difícil” de integrar. Desse modo você chama uma função de f(x) e a outra de g’(x) . A sua f(x) você irá derivar (encontrando sua f’(x) ) e a sua g’(x) você irá integrar (encontrando sua g(x) ) e depois efetuar a seguinte operação:

∫ f x g ' x d x = f x g x - ∫ g x f ' x d x

Assim:

f x = ln ⁡ x                           f ' x = 1 x

g ' x = 1                                   g x = x

∫ 0 1 ( - ln ⁡ x )   d x = - [ ( x  ln ⁡ x ) 1 0 - ∫ 0 1 1 x × x   d x ]   = - [ ( x  ln ⁡ x ) 1 0 - ∫ 0 1   d x ]  

Passo 2

Agora utilizaremos a a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

- [ ( x  ln ⁡ x ) 1 0 - ∫ 0 1   d x ] =   - [ ( x  ln ⁡ x ) 1 0 - x 1 0 ]  

Passo 3

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

- [ ( x ln ⁡ x ) 1 0 - x 1 0 = - [ ( ( ln ⁡ 1 ) - ( ln ⁡ 0 × 0 ) ) - 1 - 0 ] = - [ 0 - 1 ] = 1

Resposta

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