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Calcule a integral definida.

∫ 0 1 2 y + y 2   d y

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = ∫ 0 1 2 y + y 2   d y

Primeiro precisamos completar quadrados dentro da raiz:

y 2 + 2 y = y 2 + 2 y + 1 - 1 = y + 1 2 - 1

Assim,

I = ∫ 0 1 y + 1 2 - 1   d y

Fazemos agora x = y + 1 , com d y = d x :

I = ∫ 1 2 x 2 - 1   d x

Passo 2

Vamos procurar uma primitiva para x 2 - 1 fazendo a substituição x = sec ⁡ t com d x = sec ⁡ t tan ⁡ t   d t :

x 2 - 1 = sec 2 ⁡ t - 1 = tan 2 ⁡ t ⇒ x 2 - 1 = tan ⁡ t

Portanto,

∫ x 2 - 1   d x = ∫ sec ⁡ t tan 2 ⁡ t   d t = ∫ sec ⁡ t sec 2 ⁡ t - 1   d t = ∫ sec 3 ⁡ t   d t - ∫ sec ⁡ t   d t

Vamos procurar a integral da secante ao cubo usando partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Chamando u = sec ⁡ t e d v = sec 2 ⁡ t   d t , temos que d u = sec ⁡ t tan ⁡ t   d t e v = tan ⁡ t :

∫ sec 3 ⁡ t = sec ⁡ t tan ⁡ t - ∫ sec ⁡ t tan 2 ⁡ t   d t = sec ⁡ t tan ⁡ t - ∫ sec ⁡ t sec 2 ⁡ t - 1   d t

Assim,

∫ sec 3 ⁡ t = sec ⁡ t tan ⁡ t - ∫ sec 3 ⁡ t + ∫ sec ⁡ t   d t

Portanto,

2 ∫ sec 3 ⁡ t = sec ⁡ t tan ⁡ t + ∫ sec ⁡ t   d t ⇒ ∫ sec 3 ⁡ t = 1 2 sec ⁡ t tan ⁡ t + 1 2 ∫ sec ⁡ t   d t

Desta forma,

∫ sec 3 ⁡ t   d t - ∫ sec ⁡ t   d t = 1 2 sec ⁡ t tan ⁡ t - 1 2 ∫ sec ⁡ t   d t

Portanto,

∫ sec 3 ⁡ t   d t - ∫ sec ⁡ t   d t = 1 2 sec ⁡ t tan ⁡ t - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t

Como tan ⁡ t = x 2 - 1 e sec ⁡ t = x :

∫ x 2 - 1   d x = 1 2 x   x 2 - 1 - 1 2 ln ⁡ x + x 2 - 1

Passo 3

Assim, temos que

I = ∫ 1 2 x 2 - 1   d x = 1 2 x   x 2 - 1 - 1 2 ln ⁡ x + x 2 - 1 1 2

Portanto,

I = 1 2 2 3 - ln ⁡ 2 + 3 - 0 + ln ⁡ 1

Logo,

I = 3 - 1 2 ln ⁡ 2 + 3

Resposta

3 - 1 2 ln ⁡ 2 + 3

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