Enunciado

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Calcule a integral definida abaixo:

∫ - π 2 π 2   15 s e n 4 3 x c o s ⁡ ( 3 x )     d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ - π 2 π 2   15 s e n 4 3 x c o s ⁡ ( 3 x )     d x

u = s e n   ( 3 x )   d u = cos ⁡ 3 x × 3   d x   ⇒ d u 3 = cos ⁡ 3 x d x

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ - π 2 π 2   15 s e n 4 3 x c o s ⁡ ( 3 x )     d x = ∫ - π 2 π 2 15 3 u 4 d u = 5 ∫ - π 2 π 2 u 4 d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

5 ∫ - π 2 π 2 u 4 d u = 5 u 5 5 π 2 - π 2

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos e simplificando, temos:

5 u 5 5 π 2 - π 2 = s e n 5 3 π 2 - s e n 5 - 3 π 2 =   - 1 - 1 = - 2

Relembrando que de forma genérica a substituição dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

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