Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 7.4 - Ex. 56

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desse livro

Calcule a integral indefinida:

∫ e x 4 - e 2 x   d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer umas substituições para tirar essa exponencial, para ficar melhor de trabalhar:

u = e x

d u = e x d x

Substituindo temos:

∫ e x 4 - e 2 x   d x = ∫ 1 4 - u ⋅ u   d u = ∫ 1 4 - u 2   d u

Passo 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma a 2 - x 2 , nesse formato de expressão vamos fazer u = a sen ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

u = 2 sen ⁡ θ → θ = arcsen ⁡ u 2

d u = 2 cos ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ 1 4 - u 2   d u = ∫ 1 4 - 4 sen 2 ⁡ θ   2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 2 cos ⁡ θ 4 1 - sen 2 ⁡ θ   d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 2 cos ⁡ θ 4 1 - sen 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 2 cos ⁡ θ 4 cos 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 2 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ   d θ = ∫ 1 d θ

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 d θ = θ + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ e x 4 - e 2 x   d x = ∫ 1 4 - u 2   d u = ∫ 1 d θ = θ + C = arcsen ⁡ u 2 + C = arcsen ⁡ e x 2 + C

Resposta

∫ e x 4 - e 2 x   d x = arcsen ⁡ e x 2 + C

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