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Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 7.4 - Ex. 55

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desse livro

Calcule a integral indefinida:

∫ x 2 2 - x 2   d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma a 2 - x 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sen ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

x = 2 sen ⁡ θ → θ = arcsen ⁡ x 2

d x = 2 cos ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ x 2 2 - x 2   d x = ∫ 2 sen 2 ⁡ θ 2 - 2 sen 2 ⁡ θ   2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 2 sen 2 ⁡ θ 2 1 - sen 2 ⁡ θ   2 cos ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 2 sen 2 ⁡ θ 2 1 - sen 2 ⁡ θ   2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 2 sen 2 ⁡ θ 2 cos 2 ⁡ θ   2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 2 sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ   2 cos ⁡ θ d θ =

= ∫ 2 sen 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Agora vamos usar outra identidade trigonométrica:

sen 2 ⁡ θ = 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2

Assim ficamos com:

∫ 2 sen 2 ⁡ θ d θ = ∫ 2 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ d θ = ∫ 1 d θ + ∫ - cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 3

Pronto, com a primeira integral é fácil achar as primitivas da função, usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 d θ = θ + C

Com a segunda vamos fazer uma substituição:

u = 2 θ

d u = 2 d θ

Substituindo:

∫ - cos ⁡ 2 θ d θ = ∫ - cos ⁡ u 2 d u = - 1 2 ∫ cos ⁡ u d u

Agora usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

E agora plicando:

- 1 2 ∫ cos ⁡ u d u = - 1 2 sen ⁡ u + C

Passo 4

Agora é só juntar tudo:

∫ x 2 2 - x 2   d x = ∫ 2 sen 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 d θ + ∫ - cos ⁡ 2 θ d θ = θ - 1 2 sen ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 2 2 - x 2   d x = θ - 1 2 sen ⁡ u + C = arcsen ⁡ x 2 - 1 2 sen ⁡ 2 θ + C =

= arcsen ⁡ x 2 - 1 2 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + C = arcsen ⁡ x 2 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ + C

Temos que sen ⁡ θ = x 2 , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar cos ⁡ θ :

Assim o valor de cos ⁡ θ :

cos ⁡ θ = 2 - x 2 2

Substituindo isso ficamos com:

∫ x 2 2 - x 2   d x = arcsen ⁡ x 2 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ + C = arcsen ⁡ x 2 - x 2 ⋅ 2 - x 2 2 + C =

= arcsen ⁡ x 2 - x 2 - x 2 2 + C

Resposta

∫ x 2 2 - x 2   d x = arcsen ⁡ x 2 - x 2 - x 2 2 + C

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