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Calcule a integral indefinida.

∫ x - 1 x 2 + 2 x + 3 2 d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

∫ x - 1 x 2 + 2 x + 3 2 d x = ∫ x x 2 + 2 x + 3 2 d x + ∫ - 1 x 2 + 2 x + 3 2 d x =

= 1 2 ∫ 2 x + 2 - 2 x 2 + 2 x + 3 2 d x - ∫ 1 x 2 + 2 x + 3 2 d x =

= 1 2 ∫ 2 x + 2 x 2 + 2 x + 3 2 d x + 1 2 ∫ - 2 x 2 + 2 x + 3 2 d x - ∫ 1 x 2 + 2 x + 3 2 d x =

= 1 2 ∫ 2 x + 2 x 2 + 2 x + 3 2 d x - ∫ 1 x 2 + 2 x + 3 2 d x - ∫ 1 x 2 + 2 x + 3 2 d x =

= 1 2 ∫ 2 x + 2 x 2 + 2 x + 3 2 d x - 2 ∫ 1 x 2 + 2 x + 3 2 d x

Passo 2

Com a primeira vamos usar a Regra da Substituição:

u = x 2 + 2 x + 3

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x + 2   d x

Fazendo a substituição ficamos com:

1 2 ∫ 2 x + 2 x 2 + 2 x + 3 2 d x = 1 2 ∫ 1 u 2 d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

1 2 ∫ 1 u 2 d u = 1 2 ∫ u - 2 d u = 1 2 ⋅ u - 2 + 1 - 2 + 1 + C = 1 2 ⋅ u - 1 - 1 + C = 1 2 u + C

Passo 3

Com a segunda vamos completar quadrado:

- 2 ∫ 1 x 2 + 2 x + 3 2 d x = - 2 ∫ 1 x + 1 2 + 2 2 d x

Vamos usar a Regra da Substituição:

r = x + 1

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- 2 ∫ 1 x + 1 2 + 2 2 d x = - 2 ∫ 1 r 2 + 2 2 d r

Passo 4

Vamos usar outra Substituição:

r = 2 t

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 2 d t

Fazendo a substituição ficamos com:

- 2 ∫ 1 r 2 + 2 2 d r = - 2 ∫ 1 2 t 2 + 2 2 2 d t = - 2 2 ∫ 1 4 t 2 + 1 2 d t = - 2 2 ∫ 1 t 2 + 1 2 d t

Passo 5

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 + a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer t = a tg ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

t = tg ⁡ θ → θ = arctg ⁡ t

d t = sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

- 2 2 ∫ 1 t 2 + 1 2 d t = - 2 2 ∫ 1 tg 2 ⁡ θ + 1 2 sec 2 ⁡ θ d θ = - 2 2 ∫ 1 tg 2 ⁡ θ + 1 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

- 2 2 ∫ 1 tg 2 ⁡ θ + 1 2 sec 2 ⁡ θ d θ = - 2 2 ∫ 1 sec 2 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ d θ = - 2 2 ∫ 1 sec 4 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ =

= - 2 2 ∫ 1 sec 2 ⁡ θ d θ = - 2 2 ∫ 1 1 cos 2 ⁡ θ d θ = - 2 2 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Vamos usar outra identidade:

- 2 2 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ = - 2 2 ∫ 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ = - 2 2 ∫ 1 2 d θ + ∫ 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 6

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

- 2 2 ∫ 1 2 d θ + ∫ 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ = - 2 2 1 2 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ + C

Agora vamos juntar tudo:

1 2 ∫ 2 x + 2 x 2 + 2 x + 3 2 d x - 2 ∫ 1 x 2 + 2 x + 3 2 d x = 1 2 u - 2 2 1 2 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ + C

Passo 7

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

∫ x - 1 x 2 + 2 x + 3 2 d x = 1 2 u - 2 2 1 2 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ + C =

= 1 2 x 2 + 2 x + 3 - 2 2 1 2 arctg ⁡ t + 1 4 sen ⁡ 2 arctg ⁡ t + C =

= 1 2 x 2 + 2 x + 3 - 2 2 1 2 arctg ⁡ r 2 + 1 4 sen ⁡ 2 arctg ⁡ t + C =

= 1 2 x 2 + 2 x + 3 - 2 2 1 2 arctg ⁡ x + 1 2 + 1 4 sen ⁡ 2 arctg ⁡ t + C

Resposta

∫ x - 1 x 2 + 2 x + 3 2 d x = 1 2 x 2 + 2 x + 3 - 2 2 1 2 arctg ⁡ x + 1 2 + 1 4 sen ⁡ 2 arctg ⁡ t + C

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