Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 7.6 - Ex. 18

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desse livro

Calcule a integral indefinida.

∫ d x ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 4 )

Passo 1

Aqui a gente tem uma fatoração com termos quadráticos irredutíveis.

Nesse caso, pra aplicar frações parciais, a gente pode fazer:

1 x 2 + 1 x 2 + 4 = A x + B x 2 + 1 + C x + D x 2 + 4

Aí daqui a gente tem que descobrir os valores de A ,   B   C   e   D .

Passo 2

Vamos fazer as continhas pra igualar:

1 x 2 + 1 x 2 + 4 =   ( x 2 + 4 ) ( A x + B ) x 2 + 1 + ( x 2 + 1 ) ( C x + D ) x 2 + 4

Agora a gente pode eliminar os denominadores...

1 = x 2 + 4 A x + B +   ( x 2 + 1 ) ( C x + D )

1 = A x 3 + B x 2 + 4 A x + 4 B + C x 3 + D x 2 + C x + D

1 = x 3 A + C + x 2 B + D + x 4 A + C + 4 B + D

Pra isso ser verdadeiro, a gente precisa que:

A + C = 0

B + D = 0

4 A + C = 0

4 B + D = 1

Aí a gente acha que:

A = 0 ; B = 1 3 ; C = 0 ; D = - 1 3

Passo 3

Beleza, agora a gente reescreve:

1 x 2 + 1 x 2 + 4 = 1 3 ( x 2 + 1 ) - 1 3 ( x 2 + 4 )  

Ótimo! Agora é só a gente voltar isso pra integral:

∫ d x ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 4 ) = ∫ 1 3 ( x 2 + 1 ) - 1 3 ( x 2 + 4 ) d x

= 1 3   ∫ 1 x 2 + 1 d x - ∫ 1 x 2 + 4 d x

Pelas integrais que a gente conhece, a gente sabe que vai ser:

1 3 a r c t g   x - 1 2 a r c t g   x 2 + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

1 3 a r c t g   x - 1 2 a r c t g   x 2 + C

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