Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 15.2 - Ex. 9

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Calcule a integral iterada.

∫ 1 4 ∫ 1 2 x y + y x d y   d x

Passo 1

Pessoal, quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

∫ 1 4 ∫ 1 2 x   1 y + 1 x   y d y d x = ∫ 1 4 x ln ⁡ | y | + 1 x   y 2 2   1 2 d x = ∫ 1 4 x ln ⁡ | 2 | + 1 x   2 2 2 - x ln ⁡ 1 - 1 x   1 2 2 d x = ∫ 1 4 x ln ⁡ 2 + 1 x 2 - x   .   0 - 1 x   1 2   d x = ∫ 1 4 ln ⁡ 2 x + 2 - 1 2 1 x   d x = ∫ 1 4 ln ⁡ 2 x + 3 2   1 x   d x

Passo 2

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

∫ 1 4 ln ⁡ 2 x + 3 2   1 x   d x = ( ln ⁡ 2 ) x 2 2 + 3 2 ln ⁡ x 1 4 = ( ln ⁡ 2 ) 4 2 2 + 3 2 ln ⁡ 4 - ( ln ⁡ 2 ) 1 2 2 - 3 2 ln ⁡ 1 = ( ln ⁡ 2 ) 8 + 3 2 ln ⁡ 4 - ( ln ⁡ 2 ) 1 2 - 3 2 .   0 = 8 ln ⁡ 2 + 3 2 ln ⁡ 2 2 - 1 2 ln ⁡ 2 = 8 ln ⁡ 2 + 3 2 . 2 ln ⁡ 2 - 1 2 ln ⁡ 2 = 21 2 ln ⁡ 2

Beleza?

Resposta

21 2 ln ⁡ 2

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