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Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   1 + x 2 + y 2   d S

S é o helicoide com equação vetorial

r u ,   v = u cos ⁡ v i + u   s e n   v   j + v   k   ,     0 ≤ u ≤ 1   ,     0 ≤ v ≤ π

Passo 1

Pessoal, vamos começar calculando:

r u × r v = cos ⁡ v   i + s e n   v   j + 0   k × - u   s e n   v   i + u cos ⁡ v j + k

r u × r v = s e n   v   i - cos ⁡ v j + u   k

r u × r v = s e n 2   v + cos 2 ⁡ v + u 2 = 1 + u 2

Assim, podemos escrever a integral:

∫ ∫ S   1 + x 2 + y 2   d S = ∫ 0 π ∫ 0 1 1 + u 2 cos 2 ⁡ v + u 2   s e n 2   v     1 + u 2   d u   d v = ∫ 0 π ∫ 0 1 1 + u 2   d u   d v

Passo 2

Show! Agora vamos resolver a integral:

∫ 0 π ∫ 0 1 1 + u 2   d u   d v = π u + u 3 3 0 1 = 4 π 3  

Resposta

4 π 3

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