Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 16.7 - Ex. 15

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Calcule a integral de superfície.

∬ x d S

S é a superfície y = x 2 + 4 z , 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ z ≤ 1 .

Passo 1

Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que

f x , y , z = x

Qualquer superfície S com equação y = g ( x , z ) pode ser considerada uma superfície parametrizada com equações parametrizadas. Neste caso, a integral de superfície se torna:

∬ f x , y , z d S = ∬ f x , y , g x , y ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 + 1 d A

Precisamos achar as derivadas parciais de z . Assim,

∂ y ∂ x = 2 x

∂ y ∂ z = 4

Escrevendo a expressão que fica dentro da integral:

f x , y , g x , y ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 + 1 = x 2 x 2 + 4 2 + 1

f x , y , g x , y ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 + 1 = x 17 + 4 x 2

Passo 2

Portanto,

∬ x d S = ∬ x 17 + 4 x 2 d x d z

Dado que 0 ≤ x , z ≤ 1 ,

∬ f x , y , z d s = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 17 + 4 x 2 d x d z

Vamos resolver essa integral pelo método da substituição! Seja u = 17 + 4 x 2 → d u = 8 x d x → d u 8 = x d x . Os limites de integração também vão mudar, indo de 0   a   1 para 17   a   17 + 4 = 21 . Assim,

∬ f x , y , z d s = ∫ 0 1 d z ∫ 17 21 u d u 8

∬ f x , y , z d s = 1 8 ∫ 17 21 u 1 2 d u

∬ f x , y , z d s = 1 8 2 3 u 3 2 17 21

∬ f x , y , z d s = 1 12 u u 17 21

∬ f x , y , z d s = 1 12 [ 21 21 - 17 17 ]

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = 1 12 [ 21 21 - 17 17 ]

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