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Calcule a integral. Talvez seja necessário utilizar uma substituição primeiro

∫ x + 1 x 2 ( x - 1 ) d x

Passo 1

Inicialmente, perceba que o grau do polinômio de baixo é maior que o de cima. Além disso, podemos reescrever o polinômio do denominador em função de suas raízes

Sendo assim,

∫ x + 1 x 2 ( x - 1 ) d x = ∫ x + 1 x x ( x - 1 ) d x

Cujas raízes do denominador são x = 0 e x = 1 , onde x = 0 é raízes duas vezes.

Passo 2

Note que o denominador é um produto de fatores lineares. Porém, não podemos utilizar o método de Heaviside para decompor x + 1 x x ( x - 1 ) em frações parciais, pois x = 0 são raízes duas vezes.

Sendo assim, vamos utilizar outros métodos de decomposição em frações parciais.

Dessa forma,

1 x 2 ( x - 1 ) = A x - 1 + B x + C x 2

Realizando o MMC entre as frações teremos,

x + 1 x 2 ( x - 1 ) = A   x 2 + B x x - 1 + C x - 1 x 2 ( x - 1 )

Como os denominadores são iguais então precisaremos apenas manipular os numeradores, ou seja,

x + 1 = A x 2 + B x x - 1 + C x - 1

Substituindo valores estratégicos teremos

Para x = 0 ⇒ 0 + 1 = C 0 - 1 ⇒ C = - 1

Para x = 1 ⇒ 1 + 1 = A ( 1 ) 2 ⇒ A = 2

Supondo arbitrariamente x = 2 teremos,

2 + 1 = A ( 2 ) 2 + B 2 2 - 1 + C 2 - 1

Como C = - 1 e A = 2 então

3 = 2 2 2 + B 2 1 + ( - 1 ) ( 1 )

⇒ 3 = 8 + B 2 1 - 1

⇒ 2 B = - 4

⇒ B = - 2

Logo,

1 x 2 ( x - 1 ) = A x - 1 + B x + C x 2

1 x 2 ( x - 1 ) = 2 x - 1 + - 2 x + - 1 x 2

Passo 3

Precisamos agora, calcular a integral

∫ 2 x - 1 + - 2 x + - 1 x 2 d x

Utilizando a propriedade da soma

= ∫ 2 x - 1 d x + ∫ - 2 x d x + ∫ - 1 x 2 d x

Usando a propriedade da retirada da constante

= 2 ∫ 1 x - 1 d x - 2 ∫ 1 x d x - ∫ 1 x 2 d x

Utilizando o método de substituição em cada uma das integrais acima teremos,

= 2 ln ⁡ x - 1 - 2 ln ⁡ x - - 1 x

= 2 ln ⁡ x - 1 - 2 ln ⁡ x + 1 x

Portanto,

∫ d x x 2 ( x - 1 ) d x = 2 ln ⁡ x - 1 - 2 ln ⁡ x + 1 x + C

Todas as integrais que calculamos foram indefinidas, sendo assim em cada uma delas era necessário um constante, porém, para economia de notação preferimos acrescentar uma única constante C , ao final. Já que ela corresponderá a soma de todas as constantes não acrescentadas até o momento.

Resposta

∫ d x x 2 ( x - 1 ) d x = 2 ln ⁡ x - 1 - 2 ln ⁡ x + 1 x + C

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