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Calcule a integral tripla.

∫ ∫ ∫ E x 2 e y   d V , onde E é delimitado pelo cilindro parabólico z = 1 - y 2 e pelos planos z = 0   ,   x = 1 e x = - 1

Passo 1

Beleza, galera? Pra gente conseguir montar a integral bonitinho, vamos primeiro visualizar um esboço da região E :

Então escrevemos a integral dessa forma:

∫ ∫ ∫ E x 2 e y d V = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 x 2 e y   d z   d y   d x

Passo 2

Agora vamos efetivamente calcular a integral tripla:

∫ - 1 1 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 x 2 e y   d z   d y   d x = ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 x 2 z e y 0 1 - y 2 d y   d x = ∫ - 1 1 x 2   d x ∫ - 1 1 e y - y 2 e y   d y

Passo 3

Para prosseguir, precisamos do seguinte resultado, proveniente de integração por partes:

∫ y 2 e y   d y = y 2 - 2 y + 2 e y + C

Então, continuando,

∫ - 1 1 x 2   d x ∫ - 1 1 e y - y 2 e y   d y = x 3 3 - 1 1   .   e y - y 2 - 2 y + 2 e y - 1 1 = 2 3   .   ( e - e - e - 1 + 5 e - 1 ) = 8 3 e - 1

Resposta

8 3 e

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Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.O sólido delimitado pelo cilindro elíptico 4 x 2 + z 2 = 4 e pelos planos y = 0 e y = z + 2
Calcule a integral iterada. ∫ 0 π / 2 ∫ 0 y ∫ 0 x cos ⁡ ( x + y + z )   d z   d x   d y
Calcule a integral iterada. ∫ 0 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z e y   d x   d z   d y
Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 y 2 x y z d z   d y   d x
Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 z ∫ 0 y z e - y 2 d x   d y   d z
Calcule a integral iterada. ∫ 0 π ∫ 0 x ∫ 0 x z x 2   s e n   y   d y   d z   d x
Calcule a integral tripla. ∭ E x y   d V , onde E é delimitado pelo cilindro parabólico y = x 2 e x = y 2 e pelos planos z = 0 e z = x + y
Calcule a integral tripla. ∭ E z   d V , onde E é limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 , y = 3 x e z = 0 no primeiro octante
Calcule
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) 4 x 2 + 9 y 2 + z 2 ≤ 4 e 4 x 2 + 9 y 2 ≤ 1
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.O sólido limitado pelo parabolóide x = y 2 + z 2 e pelo plano x = 16
Calculer) ∫ ∫ ∫ B y - x ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 4 ≤ x + y ≤ 8 , 1 x ≤ y ≤ 2 x , y ≥ x e 0 ≤ z ≤ x ⋅ y 1 3 x + y .