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Calcule.

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 x 2 + x + 1

Passo 1

Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo 1 x n que tendem a zero para x → + ∞ , pois assim fica simples de resolver o limite.

Vamos usar a propriedade da divisão:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 x 2 + x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x + 1

Temos que podemos agora usar a propriedade da raíz nesse limite:

lim x → p ⁡ f x n = lim x → p ⁡ f x n = L n , desde que L > 0 se n for par

Aplicando:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x + 1

Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre tanto no numerador quanto no denominador da expressão:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + 1 x + 1 x 2

Vamos aplicar a propriedade da multiplicação e da soma:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + 1 x + 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x - 1 x 3 3 lim x → + ∞ ⁡ x 2 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x + 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 2 x + lim x → + ∞ ⁡ - 1 x 3 3 lim x → + ∞ ⁡ x 2 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 1 x + lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 2 x - lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 3 lim x → + ∞ ⁡ x 2 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 1 x + lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2

Aqui vamos fazer uma manipulação com o numerador e o denominador, vamos pegar o termo x 3 e x 2 e deixar eles novamente com raíz:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 2 x - lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 3 lim x → + ∞ ⁡ x 2 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 1 x + lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 2 x - lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 3 lim x → + ∞ ⁡ x 2 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 1 x + lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 3 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 2 x - lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 3 lim x → + ∞ ⁡ x 2 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 1 x + lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ x ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 2 x - lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 3 lim x → + ∞ ⁡ x ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 1 x + lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 2 x - lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 3 lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 1 x + lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2

Pronto, agora fica simples, vamos então resolver os limites separamente.

Passo 2

Primeiro no numerador:

No primeiro temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

lim x → p ⁡ k = k

lim x → + ∞ ⁡ 1 = 1

Já no segundo limite podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com 1 x que também tende a zero para x → + ∞ :

lim x → p ⁡ k f x = k lim x → p ⁡ f x

lim x → + ∞ ⁡ 2 x = 2 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 x = 2 ∙ 0 = 0

No terceiro limite temos 1 x 3 que tende a zero para x → + ∞ , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero 1 x 3 vai está:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 = 0

Passo 3

Agora no denominador:

No primeiro temos também o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

lim x → p ⁡ k = k

lim x → + ∞ ⁡ 1 = 1

Já no segundo limite temos 1 x que tende a zero para x → + ∞ , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero 1 x vai está:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x = 0

No terceiro limite temos 1 x 2 que tende a zero para x → + ∞ , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero 1 x 2 vai está:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

Passo 4

Por último é só juntar os resultados e pronto:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 x 2 + x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 2 x - lim x → + ∞ ⁡ 1 x 3 3 lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 1 x + lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = 1 + 0 - 0 3 1 + 0 + 0 = 1 3 1 = 1 1 = 1

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 x 2 + x + 1 = 1

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