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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 1 6ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 6ª Edição - James Stewart - 2.3 - 18

Calcule o limite, se existir.

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1

Passo 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor 1 na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a indeterminação

0 0

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, vamos analisar um pouco com calma e descobrir como resolver. Podemos fatorar as expressões do numerador e denominador, vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos analisar o limite:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1

No numerador temos um polinômio do terceiro grau, da seguinte forma a 3 - b ³ , então podemos usar a seguinte fórmula:

a 3 - b 3 = ( a 2 + a . b + b 2 ) ( a - b )

Assim temos a = x e b = 1 , vamos aplicar:

x 3 - 1 3 = x 2 + x . 1 + 1 2 x - 1 = ( x 2 + x + 1 ) ( x - 1 )

Ficamos então com o limite dessa forma:

lim x → 1 ⁡ ( x 2 + x + 1 ) ( x - 1 ) x 2 - 1

Passo 3

No denominador podemos fatorar resolvendo a expressão a igualando a zero para achar as raízes, vamos lá:

x 2 - 1 = 0

x = ± 1

Então:

x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 )

Resultando no limite da seguinte forma:

lim x → 1 ⁡ ( x 2 + x + 1 ) ( x - 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )

Passo 4

Assim ficamos com o limite desse jeito:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ ( x 2 + x + 1 ) ( x - 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )

Da pra simplificando a expressão x - 1 que aparece tanto no numerador quanto na denominador:

lim x → 1 ⁡ ( x 2 + x + 1 ) ( x - 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) = lim x → 1 ⁡ x 2 + x + 1 x + 1

Pronto, agora dá pra resolver o limite substituindo o valor 1 na expressão:

lim x → 1 ⁡ x 2 + x + 1 x + 1 = 1 2 + 1 + 1 1 + 1 = 3 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1 = 3 2

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