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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 11.2 - Ex. 12

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Calcule o limite, se existir.

lim x → 0 + ⁡ sinh ⁡ x tan ⁡ x

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sinh ⁡ x tan ⁡ x =   e lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x ∙ ln ⁡ sinh ⁡ x

Passo 2

Agora temos lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x ∙ ln ⁡ sinh ⁡ x que se trata de uma indeterminação 0 ∙ ∞ , assim vamos aplicar outra manipulação, vamos inverter duas vezes tan ⁡ x .

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sinh ⁡ x 1 / tan ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sinh ⁡ x cot ⁡ x

Passo 3

Aplicando L’Hôpital no limite temos e fazendo algumas manipulações temos

lim x → 0 + ⁡ - cosh ⁡ x sinh ⁡ x csc 2 ⁡ x =   lim x → 0 + ⁡ - sin 2 ⁡ x sinh ⁡ x cosh ⁡ x =   lim x → 0 + ⁡ - sin 2 ⁡ x sinh ⁡ x ∙ lim x → 0 + ⁡ cosh ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ - sin 2 ⁡ x sinh ⁡ x ∙ 1

Passo 4

Como ainda temos a indeterminação 0 0 aplicaremos L’Hôpital novamente.

lim x → 0 + ⁡ - sin 2 ⁡ x sinh ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ - 2 sin ⁡ x cos ⁡ x cosh ⁡ x = 0

lim x → 0 + ⁡ sinh ⁡ x tan ⁡ x =   e lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x ∙ ln ⁡ sinh ⁡ x = e lim x → 0 + ⁡ - 2 sin ⁡ x cos ⁡ x cosh ⁡ x = e 0 = 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ sinh ⁡ x tan ⁡ x = 1

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