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Calcule o limite:

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ π ⋅ θ s e n θ

Passo 1

Relembrando que as funções polinomiais, racionais, raízes, trigonométricas e exponenciais são funções contínuas em todo o seu domínio, temos uma propriedade dos limites que permite que ele entre na função contínua. Veja abaixo um exemplo:

lim x → x 0 ⁡ s e n x = s e n ( lim x → x 0 ⁡ x )

Para resolvermos limites, o primeiro passo é aplicar o valor x 0 na função e analisar se há uma indeterminação ou não. Caso não ocorra, temos a nossa solução! Agora, se uma indeterminação aconteceu, 0 0 ou ∞ ∞ por exemplo, teremos um probleminha a mais para resolver. Sendo assim, precisaremos realizar algumas manipulações algébricas para que eliminemos os termos que causam a indeterminação.

Está complexo? Não se assuste e vamos resolver calmamente. Quando necessário trabalhar com indeterminação, resolveremos calmamente.

Passo 2

Conforme descrito anteriormente, o nosso primeiro passo é aplicar o valor θ = 0 na função. Sendo assim, temos:

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ π ⋅ θ s e n θ = cos ⁡ lim θ → 0 ⁡ π ⋅ θ s e n θ

cos ⁡ lim θ → 0 ⁡ π ⋅ θ s e n θ = cos ⁡ π ⋅ 0 s e n 0

cos ⁡ π ⋅ 0 s e n 0 = cos ⁡ π ⋅ 0 0 = cos ⁡ o o

Portanto, chegamos a uma indeterminação dentro do cosseno! E agora, o que faremos?

Passo 3

O que causou a indeterminação foi o seguinte limite:

lim θ → 0 ⁡ π ⋅ θ s e n θ = π ⋅ lim θ → 0 ⁡ θ s e n θ

A função θ s e n θ nada mais é do que:

θ s e n θ = s e n θ θ - 1

Portanto, temos o seguinte limite:

lim θ → 0 ⁡ π ⋅ θ s e n θ = π ⋅ lim θ → 0 ⁡ s e n θ θ - 1

Logo, recaímos sobre um dos limites fundamentais. Sendo assim, podemos substituir diretamente pelo seu valor. Sendo assim, temos:

π ⋅ lim θ → 0 ⁡ s e n θ θ - 1 = π ⋅ 1 - 1 = π

Passo 4

Podemos agora finalizar a nossa questão. Continuando a resolução do limite, temos:

cos ⁡ lim θ → 0 ⁡ π ⋅ θ s e n θ = cos ⁡ π = - 1

Portanto, o valor do nosso limite é - 1 .

Resposta

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ π ⋅ θ s e n θ = - 1

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