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Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 12.1 - Ex. 3b

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3. Calcule e verifique sua resposta por derivação.

b )   ∫ sin ⁡ 2 x   d x

Passo 1

Oi, pessoal! Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição simples!

O grande lance aqui é você olhar para dentro do seno e chamar de u .

Vamos colocar a mão na massa?!

Passo 2

Nós temos a seguinte integral,

∫ sin ⁡ 2 x   d x

Vamos fazer a substituição simples,

u = 2 x

d u = 2 d x → d u 2 = d x

Substituindo na integral,

∫ sin ⁡ u d u 2 = - cos ⁡ u 2 + C

Voltando para a variável x ,

∫ sin ⁡ 2 x   d x = - cos ⁡ 2 x 2 + C

Não podemos esquecer a nossa constante de integração C .

Passo 3

Agora vamos verificar fazendo a derivada do resultado da integral. Para isso, precisamos lembrar que, pela regra da cadeia, ( cos ⁡ u ) ' = - u ' sin ⁡ u e que a derivada de uma constante é zero. Então,

- 1 2 cos ⁡ 2 x + k ' =   - 1 2 cos ⁡ 2 x ' + k ' =   - - 2 1 2 sin ⁡ 2 x + 0 = sin ⁡ 2 x  

Ou seja, confirmamos o resultado pela derivada

Resposta

Portanto, temos que o resultado da integral é

∫ sin ⁡ 2 x   d x =   - 1 2 cos ⁡ 2 x + k

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