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Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 15.3 - Ex. 11 a

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Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j →   , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂   R 2 .   Se   F → for conservativo então existirá uma função escalar U x , y definida em A tal que - ∇ U x , y =   F → x , y   em A .   Uma tal função denomina-se função energia potencial associada ao campo F → . Determine, caso exista, a função energia potencial associada ao compo dado e satisfazendo a condição dada.

  1. F → x , y = 6 x i → - 2 y j → e U 0,0 = 0

Passo 1

Eita, man! Lascou-se foi tudo! É mentiraaaaaaaaaa!(leia com voz de quadrilha junina... É que eu amo o São João e já estou no clima mesmo em setembro). Mas vamos ao que interessa.

A questão nos diz que o campo é conservativo se podemos encontrar uma função tal que seu gradiente coincide com as componentes x e y   do campo dado. Em outras palavras, precisamos encontrar uma função U tal que

∂ U ∂ x x , y = - P ( x , y )

∂ U ∂ y x , y = - Q ( x , y )

Mas se ligue que isso corresponde à fazer uma continhas que já fizemos que dizia assim: Verifique se existe uma função definida no R 2 que satisfaz: ∂ f ∂ x x , y = b l á   b l á   e ∂ f ∂ y x , y = x o x o x o e em caso positivo, encontre-a. Aí a gente fazia uma continha para verificar se era possível. Se alembra qualé ?

A gente fazia a seguinte coisa:

∂ f ∂ x x , y = Q x , y ⟹   ∂ Q ∂ y x , y   e ∂ f ∂ y x , y = P x , y   ⟹   ∂ P ∂ x x , y  

Se ∂ Q ∂ y x , y =   ∂ P ∂ x x , y ,   então a função existia.

E ai, depois a gente calculava a integral da derivada com respeito a x ou a y , calculava as constantes e achava a função. A ideia aqui é a mesma. Não perde isso de vista, minino!

Vamos pás conta!

Passo 2

Pela definição do campo que nos foi dado, temos que:

- ∂ U ∂ x x , y = 6 x   ,   - ∂ U ∂ y x , y = 2 y  

Seguindo a ideia que vimos no passo anterior,

P x , y = 6 x   Q x , y =   2 y    

Vamos verificar se U existe.

∂ P ∂ y x , y = 0 =   ∂ Q ∂ x x , y

Pode preparar o quentão que o campo U existe.

Vamos achar essa merda então hahaha!

Passo 3

Usando o teorema fundamental do cálculo,

U x , y = ∫   ∂ U ∂ x x , y d x   = ∫   6 x   d x = 6 2   x 2 + C y = 3 x 2 + C y

Vamos achar a constante que depende de y agora. Fazendo,

∂ U ∂ x x , y = C ' y = 2   y   ⟹ C y = ∫   C ' y   d y   = ∫   2   y   d y = y 2 + K

Logo, a função que desejamos tem a cara

U x , y =   3 x 2 +   y 2 + K    

Vamos usar o dado para descobrir o valor de K .

0 = U 0,0 = K

Logo,

U x , y =   3 x 2 +   y 2

Resposta

U x , y =   3 x 2 +   y 2

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