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O canto superior direito de um pedaço de papel com 30   c m de largura por 20   c m de comprimento é dobrado sobre o lado direito, como na figura. Como você dobraria de forma a minimizar o comprimento da dobra? Em outras palavras, como você escolheria   x para minimizar y ?

Passo 1

A gente precisa de mais detalhes do que esses que a figura nos dá, então esboçaremos um novo desenho:

O pedaço A C foi encontrado fazendo:

x 2 = 8 - x 2 + A C 2

A C 2 = x 2 - 64 + 16 x - x 2 = 16 x - 64

A C 2 = 16 x - 4

A C = 4 x - 4

Passo 2

O exercício quer que minimizemos y em função de x , então primeiramente encontremos uma fórmula que inclui as duas variáveis:

y 2 = x 2 + z ²

Essa fórmula ainda não está muito bonita, porque y depende de x , mas também de outra variável, z , então precisamos encontrar uma fórmula no nosso desenho que isola z em função de x . Os triângulos C D E e B C A são semelhantes, pois ambos tem um ângulo de 90 ° , e os dois tem os outros dois ângulos sendo complementares ao nosso triângulo chave B C D , então:

z 8 = x 4 x - 4

z = 8 x 4 x - 4 = 2 x x - 4

Substituindo em y :

f x = y 2 = x 2 + z ²

f x = y 2 = x 2 + 2 x x - 4 2 = x 2 + 4 x 2 x - 4

f x = x 3 x - 4   ,   4 < x ≤ 8

Passo 3

Minimizando f ( x ) :

f ' x = x - 4 3 x 2 - x 3 x - 4 2 = x 2 3 x - 4 - x x - 4 2 = 2 x 2 x - 6 x - 4 2 = 0

2 x 2 = 0 ou x = 6 . x não pode ser zero pois se trata de uma medida, então, o x que minimiza y é x = 6 .

Resposta

x = 6

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