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Uma carga elétrica é distribuída sobre o disco x 2 + y 2 ≤ 1 , de modo que a densidade de carga em x , y é σ x , y = x 2 + y 2 (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no disco.

Passo 1

Para podermos calcular a carga total, precisamos resolver a seguinte integral:

Q = ∬ D σ x , y d A

Em que D é a região circular. Por causa do formato da região, é favorável utilizarmos coordenadas polares. Por isto, a nossa região será dada com 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Já a função σ x , y , em coordenadas polares, é dada por:

σ r , θ = r 2 = r

Portanto, precisamos resolver a integral (sem esquecer do jacobiano):

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 r d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ

Passo 2

Agora, vamos resolver a nossa integral. Primeiramente, temos

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π 1 3 d θ

∫ 0 2 π 1 3 d θ = 2 π 3

Resposta

Q = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 d r d θ = 2 π 3   C

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