Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Em uma certa cidade a temperatura (em ºC) t horas depois das 9 horas foi aproximada pela função

T t = 20 + 6 . s e n   π t 12

Calcule a temperatura média durante o período entre 9 h e 21 h.

Passo 1

Muito bem, antes de começar vamos lembrar de como se calcula o valor médio da função, ok?

Tranquilo, não é? Durante o período entre 9h e 21h, totalizando 12 horas, então vamos integrar a função de 0 até 12, tudo bem?

Só vamos substituir:

T m e d = 1 12 - 0 ∫ 0 12 20 + 6 . s e n   π t 12 . d t

Vamos separar os termos para integrar separadamente:

T m e d = 1 12 ∫ 0 12 20 . d t + ∫ 0 12 6 . s e n   π t 12 . d t

Tiramos as constantes:

T m e d = 1 12 20 ∫ 0 12 d t + 6 ∫ 0 12 s e n   π t 12 . d t

A primeira já conseguimos resolver, não é?

T m e d = 1 12 20 t + 6 ∫ 0 12 s e n   π t 12 . d t

Para resolvermos a próxima usamos a substituição:

u = π t 12

Derivando:

d u = π 12 d t → 12 π d u = d t

Substituindo:

T m e d = 1 12 20 t + 6 ∫ 0 12 s e n   u . 12 π d u

T m e d = 1 12 20 t + 7 2 π ∫ 0 12 s e n   u . d u

Resolvendo:

T m e d = 1 12 20 t + 72 π ( - cos ⁡ u ) | 12 0

Substituindo u:

T m e d = 1 12 20 t - 72 π cos ⁡ π t 12 | 12 0

Aplicando o intervalo:

T m e d = 1 12 20 × 12 - 72 π cos ⁡ π × 12 12 - 20 × 0 - 72 π cos ⁡ π × 0 12

T m e d = 1 12 2 40 - 72 π cos ⁡ π - - 72 π cos ⁡ 0

T m e d = 1 12 240 - 72 π ( - 1 ) - - 72 π . 1

T m e d = 1 12 240 + 144 π

T m e d = 20 + 12 π

T m e d = 23,8 ° C

Resposta

T m e d = 23,8 ° C

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o valor médio da função no intervalo dado. f x = s e n   4 x ,           [ - π , π ]
(a) Encontre o valor médio de f no intervalo dado.(b) Encontre c tal que f m e d = f ( c ) .(c) Esboce o gráfico de f e um retângulo cuja área seja a mesma que a área sob o gráfico...
Ache o valor de χ que satisfaz o teorema do valor médio para integrais para a integral a seguir. Faça uma figura ilustrando a aplicação do teorema. ∫ 1 2 x 3 = 15 4
Dado que ∫ 0 π sen ⁡ x d x = 2 , ache o valor médio da função identidade no intervalo [ 0 ,   π ] . Ache também o valor de x para o qual ocorre o valor médio. Dê uma interpretação ...
Use ∫ b a f x g x   d x     = f x 0 ∫ b a g x   d x     p a r a   p r o v a r   a   d e s i g u a l d e   ∫ 0 π x s e n   x   d x     ≤ ∫ 0 π x   d x      
Dado que ∫ - 1 2 x d x = 3 2 , ache o valor médio da função identidade no intervalo [ - 1,2 ] . Ache também o valor de x para o qual ocorre o valor médio. Dê uma interpretação geom...
Ache o valor de χ que satisfaz o teorema do valor médio para integrais para a integral a seguir. Faça uma figura ilustrando a aplicação do teorema. ∫ 0 2 x 2 d x = 8 3
Ache o valor de χ que satisfaz o teorema do valor médio para integrais para a integral a seguir. Faça uma figura ilustrando a aplicação do teorema. ∫ - 2 1 x 4 = 33 5
Use o teorema do valor médio para integrais para provar a desigualdade: 0 ≤ ∫ 5 9 1 x - 1 d x ≤ 2
Ache o valor de χ que satisfaz o teorema do valor médio para integrais para a integral a seguir. Faça uma figura ilustrando a aplicação do teorema. ∫ - 2 2 ( x 3 + 1 ) = 4
Ache o valor médio da função f definida por f x = sec 2 ⁡ x no intervalo 0 , π 4 , dado que ∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ x d x = 1 . Ache também o valor de x   no qual ocorre o valor médio. D...
Ache o valor de χ que satisfaz o teorema do valor médio para integrais para a integral a seguir. Faça uma figura ilustrando a aplicação do teorema. ∫ 0 4 ( x 2 + x - 6 ) = 16 3