Enunciado

É convergente ou divergente? Justifique.

∑ n = 1 + ∞ n a n

Onde a > 0 é um real dado

Passo 1

Nosso capítulo se refere ao teste da razão e da raiz, então talvez, mas só talvez, seja com esses testes que devemos resolver nosso problema. Mas qual éo teste da razão e o da raiz?

Critério da Razão: Seja a série

∑ k = 0 ∞ a k

Com nosso a k > 0 para todo k ≥ q , na qual q é um natural qualquer. Suponha que

lim k → + ∞ ⁡ a k + 1 a k = L

Exista, finito ou infinito. Então se L < 1 dizemos que a série é convergente. Se L > 1 dizemos que ela diverge. E se L = 1 , não sabemos nada. E ai é utilizar outro teste.

Critério da Raiz: Seja ao mesma série acima, na qual

lim k → + ∞ ⁡ a k k = L

Então vale as mesmas coisas hahaha.

Passo 2

Essa série tem a cara de uma série que necessita do teste da razão. Será que é verdade?

lim n → + ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → + ∞ ⁡ n + 1 a n + 1 n a n

E agora é álgebra ... a pior parte?

n + 1 a n a n a n = n + 1 n a = 1 + 1 n a

Simples, não. Voltando pro limite

lim n → + ∞ ⁡ 1 + 1 n a = a lim n → + ∞ ⁡ 1 + 1 n = a

Agora fica a critério de quem é a .

Pelo critério da razão, se 0 < a < 1 , então a série converge. Se a = 1 , não sabemos nada e se a > 1 temos que a série é divergente.

Resposta

depende de   a

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